Oppgavesett MAT1105 - uke 34-38

Oppgavesett MAT1105 — alt pensum til nå (kap. 1–6)

Om settet

Dekker kap. 1–6 i [1] (vektorer, matriser, Gausseliminasjon, inverse matriser, lineær uavhengighet og baser, determinanter) og hele [2] (Lynkurs i matematikkens grunnlag: mengder, funksjoner, utsagnslogikk, bevisteknikk). Tema 1–12 er midtveispensumet. Tema 13–18 (kap. 4–6) ble lagt til 14/10, med oppgaver fra kompendiet og fra tidligere eksamener. Tema 14 og 18 har et «kart» som viser hvordan begrepene henger sammen.

Hvert tema har 1–3 enkle oppgaver (midtveisnivå — men uten svaralternativer, du må skrive svaret selv) og 2 vanskeligere (avsluttende-eksamensnivå, noen bittelitt over).

Enkle oppgaver er modellert på flervalgsoppgavene fra midtveis H24/H25; de vanskeligere på oppgave 1–3-typene fra avsluttende eksamen 2024/2025, der du må begrunne alle svar.

Sjekket mot pensum: oppgavene er kontrollert mot Detaljer i pensum og mot kompendiene. Ingenting fra kap. 7+ i [1] er med, og heller ikke seksjon 3.3 (programmering av Gausseliminasjon, ikke pensum) eller 6.3 (merket med stjerne), ingen blokkmatriser (2.5, ikke pensum), ingen Vandermonde-/Hilbert-/Fourier-matriser (ikke eksamensrelevant). Programmering kommer ikke på eksamen — derfor er Python-delen lagt helt til slutt som bonus.
Noen oppgaver er merket med hvor de kommer fra, slik at du ser hva som er ren eksamenstrening og hva som er litt utenfor.

Fasit med korte svar: Oppgavesett MAT1105 - fasit
Oversikt: OVERSIKT MAT 1105

---

Tema 1 — Vektorer, linjer og plan

Notat: Kap 1 - Vektorer

Enkle

1.1 La $\vec{x}=(3,-1,2,0)$ og $\vec{y}=(-2,4,1,5)$. Beregn $3\vec{x}-2\vec{y}$.

$3\vec{x}-2\vec{y}=(9+4,-3-8,6-2,0-10)=(13,-11,4,-10)$

1.2 La $\vec{u}=(1+2i,3,-i)$ og $\vec{v}=(2,1-i,4i)$ i ${\mathbb{C}}^3$. Beregn $2\vec{u}-i\vec{v}$.

$2\vec{u}=(2+4i,6,-2i)$
$i\vec{v}=(2i,1i+1,-4,)$

$2\vec{u}-\vec{i}=(2+6i,7+i,-4-2i)$

1.3 La $P=(2,-1,3)$ og $Q=(5,1,-1)$.
a) Finn en parametrisering $\vec{y}(t)$ av linja gjennom $P$ og $Q$.
b) Avgjør om $R=(8,3,-5)$ ligger på linja.

$\overrightarrow{PQ}=(3,2,-4)$
definerer $\vec{y}$ slik at $\vec{y}(0)=P$ og $\vec{y}(1)=Q$
$\vec{y}(0)=P=(3t+2,2t-1,-4t+3)$
$\vec{y}(1)=(3+2,2-1,-4+3)=Q$
$\vec{y}(t)=(3t+2,2t-1,-4t+3)$

b)
$\vec{y}(2)=(6+2,4-1,-8+3)=(8,3,-5)$
Så ja, punktet ligger på linjen. (Stirrer på uttrykket og ser hva må t være for at første ledd skal bli 8, sjekker om det stemmer. )

Vanskeligere

1.4 Planet $\alpha$ går gjennom $P_0=(1,1,2)$ og har normalvektor $\vec{n}=(2,-3,1)$.
a) Finn en ligning for $\alpha$ på formen $ax+by+cz=d$.
b) La ${\ell }_1$ være linja $\vec{y}(t)=(1,1,1)+t(1,1,1)$. Vis at ${\ell }_1$ ikke skjærer $\alpha$, og forklar geometrisk hvorfor — bruk skalarproduktet mellom $\vec{n}$ og retningsvektoren.
c) La ${\ell }_2$ være linja $\vec{y}(t)=t(1,1,0)$. Finn skjæringspunktet mellom ${\ell }_2$ og $\alpha$.

Løsnign:
a) Skalaproduktet $(2,-3,1)\cdot (1-x,1-y,2-z)=0$
$2-2x-3+3y+2-z=-2x+3y-z=1$

b) $\vec{y}(t)=(1,1,1)+t(1,1,1)$ retningsvektor $(1,1,1)$
$\vec{n}\cdot \vec{r}=(2-3+1)=0$ Altså er linjen parallell med planet.
SJekker at linjen ikke ligger i planet: (Setter $\vec{y}(0)$ inn i planet) $-2+3-1=0$

c) Ser at $(1,1,0)$ ligger i planet. evt løs likningen $-2t+3t=1$, får $t=1$ og setter det inn i uttrykket for ${\ell }_2$

1.5 La $\vec{a},\vec{b}\in {\mathbb{R}}^n$ med $\vec{a}\ne \vec{b}$, og la $\ell$ være linja gjennom dem. Vis at et punkt $\vec{p}\in \ell$ oppfyller
$|\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{p}-\vec{b}|$
hvis og bare hvis $\vec{p}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$.
Skriv det som et ordentlig «hvis og bare hvis»-bevis: begge retninger.

$\vec{p}\in \ell$
$|\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{p}-\vec{b}|⟺\vec{p}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$

La p være punkt på linjen

Teorem:
La $\vec{a},\vec{b}\in {\mathbb{R}}^n$ med $\vec{a}\ne \vec{b}$, og la $\ell$ være linja gjennom dem. Vi skal vise at:
et punkt $\vec{p}\in \ell$ oppfyller
$|\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{p}-\vec{b}|$
hvis og bare hvis $\vec{p}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$.

Bevis:
Geometrisk inntuitivt (snittet av punktene)
1 vei først: hvis $\vec{p}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$, har vi at:

$$\begin{array}{rl}& \\ |\vec{p}-\vec{a}|& =|\vec{p}-\vec{b}|\\ |\frac{1}{2}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)-\vec{a}|& =|\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{b}\\ |\frac{\vec{b}}{2}-\frac{\vec{a}}{2}|& =|\frac{\vec{a}}{2}-\frac{\vec{b}}{2}|\\ |\vec{b}-\vec{a}|& =|\vec{a}-\vec{b}|=|-(\vec{b}-\vec{a})|\end{array}$$

disse er like! Flott!

$$\begin{array}{rl}|\vec{p}-\vec{a}|& =|\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}|\\ & =|\frac{\vec{b}}{2}-\frac{\vec{a}}{2}|\\ & =\frac{|\vec{b}-\vec{a}|}{2}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}|\vec{p}-\vec{b}|& =|\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{b}|\\ & =|\frac{\vec{a}}{2}-\frac{\vec{b}}{2}|\\ & =\frac{|\vec{a}-\vec{b}|}{2}\end{array}$$

Og disse to er like!

2. også…
   kan vi uttrykke p ved linjen på en måte?

Vi antar at $\vec{p}$ er et viklkårlig punkt på linjen. Forsøke å finne en t slik at sammmenhengen gjelder.
$t$ inn i uttrykket for $\vec{p}$
Uttrykker $\vec{p}$ som $t(\vec{b}-\vec{a})+\vec{a}$
VS:

$$|\vec{p}-\vec{a}|=|t(\vec{b}-\vec{a})+\vec{a}-\vec{a}|=|t(\vec{b}-\vec{a})|$$

HS:

$$\begin{array}{rl}|\vec{p}-\vec{b}|& =|t(\vec{b}-\vec{a})+\vec{a}-\vec{b}|\\ & =|t(\vec{b}-\vec{a})-(\vec{b}-\vec{a})|\\ & =|(\vec{b}-\vec{a})||(t-1)|\end{array}$$

Og vi antar jo fra før at

$$|\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{p}-\vec{b}|$$

Så da er

$$\begin{array}{rl}|t(\vec{b}-\vec{a})|& =|(\vec{b}-\vec{a})||(t-1)|\\ |t||(\vec{b}-\vec{a})|& =|(\vec{b}-\vec{a})||(t-1)|\\ |t|& =|t-1|\\ \sqrt{t^2}& =\sqrt{t^2-2t+1}\\ t^2& =t^2-2t+1\\ t^2-t^2--2t& =1\\ 2t& =1\\ t& =\frac{1}{2}\end{array}$$

Siden vi har satt $\vec{p}=$ $t(\vec{b}-\vec{a})+\vec{a}$
Så er $\vec{p}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})+\vec{a}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$

Som er det vi skulle vise i utgangspunktet

---

Tema 2 — Lengde, skalarprodukt og ortogonalitet

Notat: Kap 1 - Vektorer

Enkle

2.1 La $\vec{a}=(1,-2,5)$ og $\vec{b}=(-3,2,-5)$. Beregn $\vec{a}\cdot \vec{b}$, $|\vec{a}|$ og $|\vec{b}|$.
$\vec{a}\cdot \vec{b}=-3-4-25=-32$
$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+5^2}=\sqrt{30}$
$|\vec{b}|=\sqrt{(-3{)}^2+2^2+(-5{)}^2}=\sqrt{38}$

2.2 Finn alle $t\in \mathbb{R}$ slik at $(t,2,-1)$ og $(3,t,4)$ er ortogonale.
$(3t+2t-4)=0$
$5t=4$
$t=\frac{4}{5}$

2.3 I ${\mathbb{C}}^n$ bruker vi $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1\overline{b_1}+\cdots +a_n\overline{b_n}$. La
$\vec{u}=(1+i,2,-3i),\vec{v}=(2i,1-i,1).$
Beregn $\vec{u}\cdot \vec{v}$ og $|\vec{u}|$.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=((1+i)(-2i)+2(1+i)-3i(1))=-2i+2+2+i-3i=4-4i$
$|\vec{u}|=\sqrt{|(1+i){|}^2+2^2+|(-3i){|}^2}=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{10}$

Vanskeligere

2.4 (parallellogramloven) La $\vec{a},\vec{b}\in {\mathbb{R}}^n$. Vis at
$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2|\vec{a}{|}^2+2|\vec{b}{|}^2.$
Tegn opp situasjonen i ${\mathbb{R}}^2$ og forklar i én setning hva identiteten sier om et parallellogram.

$$\begin{array}{rl}|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2& =(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})\\ & =\vec{a}\cdot (\vec{a}+\vec{b})+\vec{b}\cdot (\vec{a}+\vec{b})+\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})-\vec{b}\cdot (\vec{a}-\vec{b})\\ & =\vec{a}\cdot \vec{a}+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{a}-2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{b}\\ & \\ & =2|\vec{a}{|}^2+2|\vec{b}{|}^2\end{array}$$

Lengden av diagonalene???
Må faktisk tegne dette opp.

2.5
a) La $\vec{a}\in {\mathbb{R}}^n$. Vis at hvis $\vec{a}\cdot \vec{x}=0$ for alle $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$, så er $\vec{a}=\vec{0}$.
b) Bruk a) til å vise: hvis $\vec{a}\cdot \vec{x}=\vec{b}\cdot \vec{x}$ for alle $\vec{x}$, så er $\vec{a}=\vec{b}$.
c) Vis at $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ hvis og bare hvis $\vec{a}+\vec{b}$ og $\vec{a}-\vec{b}$ er ortogonale.

Vi vet: $\vec{a}\in {\mathbb{R}}^n$ og $\forall \vec{x}\in {\mathbb{R}}^n,\vec{a}\cdot \vec{x}=0$
Vi vil vise at: $\vec{a}=\vec{0}$

(siden dette skal gjelde for alle $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$, kan vi velge n $\vec{x}$. Det SKAL gjelde for alle uansett, så da må det gjelde for $\vec{x}$ som vi velger )

Velger $\vec{x}={\vec{e}}_i$ som har alle elementer lik 0 bortsett fra $e_i=1$, der $i\in (1,2,3,\dots n)$
Da blir $\vec{a}\cdot \vec{x}=a_i$, og vi har at for alle $i$ så er $a_i=0$
Og da må $\vec{a}=\vec{0}$

b)
Vi vet: $\forall \vec{x}\in {\mathbb{R}}^n:\vec{a}\cdot \vec{x}=\vec{b}\cdot \vec{x}$
Vi vil vise at $\vec{a}=\vec{b}$

$\vec{a}\cdot \vec{x}-(\vec{b}\cdot \vec{x})=0$
$(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{x}=0$

Vi velger $\vec{x}={\vec{e}}_i=(0,0,0,\dots ,1,\dots ,n)$ der $e_i=1$
$(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{x}=0$
blir da
$((a_1-b_1)0+(a_2-b_2)0+(a_3-b_3)+\dots (a_i-b_i)1+\cdots +(a_n-b_n)0)=(a_i-b_i)$

som kun blir lik null når
$a_i=b_i$

For alle $i\in (0,1,2,3\dots n)$ gir dette at alle $a_i=b_i$, som betyr at $\vec{a}=\vec{b}$

c) Vis at $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ hvis og bare hvis $\vec{a}+\vec{b}$ og $\vec{a}-\vec{b}$ er ortogonale.

Vi vet at $\vec{a}+\vec{b}$ og $\vec{a}-\vec{b}$ er ortogonale.
Vi vil vise at $|\vec{a}|=|\vec{b}|$

Bevis:
Def. ortogonale gir at
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=0$

$$\begin{array}{rl}(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})& =\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}\cdot (\vec{a}-\vec{b})\\ & =|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{b}{|}^2\\ & =|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2\end{array}$$

$|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=0$
Gir at $|\vec{a}{|}^2=|\vec{b}{|}^2$
$|\vec{a}|=|\vec{b}|$

Også andre veien: Vi antar at $|\vec{a}|=|\vec{b}|$
og vil vise at $\vec{a}+\vec{b}$ og $\vec{a}-\vec{b}$ er ortogonale?

Kan vi gjøre akkurat det samme motsatt vei?
Se på det i morgen:)

Eller har vi vist det hvis og bare hvis fordi det er ekvivalens hele tiden her.

b) Teorem: Dersom
$\forall \vec{x}\in {\mathbb{R}}^n,\vec{a}\cdot \vec{x}=\vec{b}\cdot \vec{x}⟹\vec{a}=\vec{b}$
Skriv ut.
$\vec{a}\cdot \vec{x}=(a_1{x}_1+a_2{x}_2+a_3{x}_3+\cdots +a_n{x}_n)$
$\vec{b}\cdot \vec{x}=(b_1{x}_1+b_2{x}_2+b_3{x}_3+\cdots +b_n{x}_n)$
Disse to vil kun være like dersom $a_1=b_1,a_2=b_2,a_3=b_3,\dots a_n=b_n$
Og da har vi at $\vec{a}=\vec{b}$

Er dette ikke gyldig?

---

Tema 3 — Projeksjon, vinkel og ulikheter

Notat: Kap 1 - Vektorer

Enkle

3.1 La $\vec{a}=(7,1,5)$ og $\vec{b}=(3,4,0)$.
a) Finn projeksjonen av $\vec{a}$ ned på $\vec{b}$.

$pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}=\frac{21+4+0}{9+16}=1\vec{b}=\vec{b}$

b) Finn $\cos \theta$ eksakt, der $\theta$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$.
$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
3.2 Med $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som i 3.1: skriv $\vec{a}=\vec{p}+\vec{q}$ der $\vec{p}$ er parallell med $\vec{b}$ og $\vec{q}$ er ortogonal på $\vec{b}$. Sjekk svaret ditt.
$\vec{p}\cdot \vec{q}=0$
$\vec{p}=pro{j}_{\vec{b}}\overrightarrow{\stackrel{⃗}{a}}=\vec{b}$
$(3,4,0)$ og $(4,-3,5)$

3.3 La $\vec{a}=(2,-1,3)$ og $\vec{b}=(-4,2,-6)$. Har vi likhet i Schwarz-ulikheten $|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$ her? Begrunn uten å regne ut lengdene.

Ja, fordi vektorene er parallelle $\vec{a}\cdot -2=\vec{b}$

Vanskeligere

3.4 (projeksjonen er nærmeste punkt) La $\vec{a},\vec{b}\in {\mathbb{R}}^n$ med $\vec{b}\ne \vec{0}$, og sett $\vec{p}={\mathrm{proj}}_{\vec{b}}(\vec{a})$. Vis at
$|\vec{a}-\vec{p}|\le |\vec{a}-t\vec{b}|\text{for alle }t\in \mathbb{R},$
og at likhet bare inntreffer når $t\vec{b}=\vec{p}$.
Hint: skriv $\vec{a}-t\vec{b}=(\vec{a}-\vec{p})+(\vec{p}-t\vec{b})$ og bruk Pytagoras.
(Dette er andre halvdel av beviset for Proposisjon 1.4 i [1] — prøv å gjøre det selv før du slår opp.)

Vi vet at: $\vec{a},\vec{b}\in {\mathbb{R}}^n$ med $\vec{b}\ne \vec{0}$, og $\vec{p}={\mathrm{proj}}_{\vec{b}}(\vec{a})$.
$\vec{p}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$
geometrisk tolkning gir at $\vec{a}-\vec{p}$ er vektoren fra p til a. så egentlig skal vi vise at $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$ er den skalaren som gir korteste vei. Da må $\vec{a}-\vec{p}$ stå vinkelrett på $\vec{p}$

Kanskje derfor hintet sier Pytagoras?
Dette var vanskelig.
1.
$\vec{a}-\vec{t}b=\vec{a}-\vec{p}+\vec{p}-t\vec{b}=(\vec{a}-\vec{p})+(\vec{p}-t\vec{b})$
$\vec{p}-t\vec{b}=\vec{b}\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}-t\right)$ altså parallell med $\vec{b}$ (og $\vec{a}-\vec{p}$ er per def ortogonal på $\vec{b}$)
$(\vec{a}-\vec{p})ortogonal(\vec{p}-t\vec{b})$
Pytagoras gir at $|(\vec{a}-\vec{p})+(\vec{p}-t\vec{b}){|}^2=|(\vec{a}-\vec{p}){|}^2+|(\vec{p}-t\vec{b}){|}^2$
som er $\ge |(\vec{a}-\vec{p}){|}^2$
Siden lengder alltid er positive, har vi da at $|\vec{a}-\vec{p}|\le |\vec{a}-t\vec{b}|$ for alle t
(ingen t vil kunne gi en negativ lengde i andre del av uttrykket. Og ja, jeg har hoppet over noen mellomregninger her)

Når er disse like? Dersom $(\vec{p}-t\vec{b})=0$
Vi har fra tidligere at $\vec{p}-t\vec{b}=\vec{b}\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}-t\right)$ og at $\vec{b}\ne 0$
som gir at $t=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}$

3.5 Bruk Schwarz-ulikheten til å vise at for alle $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}$ gjelder
$(x_1+x_2+\cdots +x_n{)}^2\le n(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2).$
Når har vi likhet? Begrunn.

Schwarz-ulikheten: $|\vec{a}||\vec{b}|\ge |\vec{a}\cdot \vec{b}|$

---

Tema 4 — Matriser: notasjon, transponering, symmetri

Notat: Matriser

Enkle

4.1 La
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 4& -1& 1\end{array}\right).$
Beregn $2A-3B$ og $(A+B{)}^T$.

4.2 For hvilke verdier av $a$ og $b$ er
$M=\left(\begin{array}{ccc}1& a+1& 3\\ 2a& 4& b\\ 3& -1& 5\end{array}\right)$
symmetrisk?

4.3 La $A$ være en $m\times n$-matrise. Forklar hvorfor både $A^{T}A$ og $A{A}^T$ alltid er definert, og angi størrelsen på hver av dem.

Vanskeligere

4.4 La $A$ være en vilkårlig $n\times n$-matrise. En matrise $S$ kalles antisymmetrisk hvis $S^T=-S$.
a) Vis at $A+A^T$ er symmetrisk og at $A-A^T$ er antisymmetrisk.
b) Vis at enhver kvadratisk matrise kan skrives som en sum $A=S+T$ der $S$ er symmetrisk og $T$ antisymmetrisk.
c) Vis at oppdelingen i b) er entydig.

4.5 La $A$ være en $m\times n$-matrise med søylevektorer ${\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n$.
a) Vis at $A^{T}A$ er symmetrisk.
b) Vis at $(A^{T}A{)}_{jj}=|{\vec{a}}_j{|}^2$.
c) Bruk b) til å vise: hvis $A^{T}A=0$, så er $A=0$.

a) VI vil vise at $A^{T}A$ er symmetrisk. Altså $(A^{T}A)ij=(A^{T}A)ji$
Vi vet at $A=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& \\ ⋮& ⋮& & & \\ a_{m_1}& a_{m_2}& \dots & a_{mn}& \end{array}\right)$ og komponentene gis ved $a_{ij}$

Siden $A$ er en $m\times n$ $A^{T}A$ har dimensjonene $n\times n$

Vi har at $(A^{T}A)ij={\sum }_{r=1}^n(A^T{)}_{ir}{a}_{rj}={\sum }_{r=1}^n{a}_{ri}{a}_{rj}$, for alle naturlige tall $i,j\in \{1,\dots ,n\}$
Og $(A^{T}A)ji={\sum }_{r=1}^n(A^T{)}_{jr}{a}_{ri}={\sum }_{r=1}^n{a}_{rj}{a}_{ri}$

De to summene er like (kommutativitet for multiplikasjon i de reelle tallene)
$(A^{T}A{)}_{ij}=(A^{T}A{)}_{ji}$ har vi at $A^{T}A$ er symmetrisk

Eventuelt:
Symmetriske matriser: $B=B^T$
$(A^{T}A{)}^T=(A{)}^T(A^T{)}^T=A^{T}A$

b) Vi har at søylevektorene i $A$ er ${\vec{a}}_1,\dots {\vec{a}}_n$
$(A^{T}A)jj$ gitt ved søylevektorer er ${\vec{a}}_j\cdot {\vec{a}}_j$ (fordi radvektor j i $A^T$ er lik søylevektor ${\vec{a}}_j$ i $A$ )
${\vec{a}}_j\cdot {\vec{a}}_j=|\vec{a}j{|}^2$

c) Vi vet at $A^{T}A=0$. Antar at vi er i de reelle tallene.
Vi vil vise at $A=0$

$A^{T}A=0$ betyr at for alle naturlige tall $i,j\in [1,n]$ har vi at $(A^{T}A)ij=0$
$(A^{T}A)jj=|{\vec{a}}_j{|}^2=0$ gir at alle komponenter i ${\vec{a}}_j=(a_1,a_2,a_3\dots a_m)$ må være lik null ($|{\vec{a}}_j{|}^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots +a_m^2$ er bare null når alle komponenter er null (fordi kvadratet av et reelt tall må være $\ge 0$))

Dette gjelder for alle naturlige tall $j\in [1,n]$ så alle søylevektorene i $A$ har lengde null, som bare skjer når alle komponentene er lik null.

---

Tema 5 — Matrisemultiplikasjon og regneregler

Notat: Matriser

Enkle

5.1 La
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& -2\\ 0& 5\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 0& -2\end{array}\right).$
Beregn $AB$ og $BA$. Hva sier dette om kommutativitet?

5.2 La $A$ være $4\times 7$, $B$ være $3\times 7$ og $C$ være $3\times 6$. Hvilke av produktene
$A{B}^T,B^{T}A,B{A}^T,A^{T}C,C^{T}B$
er definert? Angi størrelsen på dem som er det.

5.3 La $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ og $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ være søylevektorer. Beregn ${\vec{a}}^T\vec{x}$ og $\vec{a}{\vec{x}}^T$, og forklar hvorfor de to har helt ulik størrelse.

Vanskeligere

5.4 La $A$ være en reell $n\times n$-matrise. Skriv et kontrapositivt bevis for følgende utsagn:

Hvis $(A\vec{x})\cdot \vec{y}=\vec{x}\cdot (A\vec{y})$ for alle $\vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n$, så er $A$ symmetrisk.

Kontrapositivt: $P⟹Q$ da tar vi $\neg Q⟹\neg P$
Vi vet (kontrapositivt): $A$ er ikke symmetrisk, $A^T\ne A$, $a_{ij}\ne a_{}ji$
Vi vil vise at $\exists \vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n:$ $(A\vec{x})\cdot \vec{y}\ne \vec{x}\cdot (A\vec{y})$

Velger $\vec{x}={\vec{e}}_i$ og $\vec{y}={\vec{e}}_j$
$(A{\vec{e}}_i)\cdot {\vec{e}}_j={\vec{a}}_i\cdot {\vec{e}}_j$ (der ${\vec{a}}_i$ er søylevektor nr i)
${\vec{a}}_i\cdot {\vec{e}}_j=a_{ij}$

Tilsvarende for HS:
Velger $\vec{x}={\vec{e}}_i$ og $\vec{y}={\vec{e}}_j$
${\vec{e}}_i\cdot (A{\vec{e}}_j)={\vec{e}}_i\cdot {\vec{a}}_j$ (der ${\vec{a}}_j$ er søylevektor nr i)
${\vec{e}}_i\cdot {\vec{a}}_j=a_{ji}$

Siden $A$ ikke er symmetrisk vil komponentene $a_{ji}$ og $a_{ij}$ ikke være like.
Vi har dermed vist kontrapositivt at hvis $(A\vec{x})\cdot \vec{y}=\vec{x}\cdot (A\vec{y})$ for alle $\vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n$, så er $A$ symmetrisk.

(Oppgave 2.5 i [1] — som står på ukesoppgavelista — og oppgave 1 på avsluttende eksamen H2025. Kompendiet ber om «hvis og bare hvis»; eksamen ba om den kontrapositive veien. Gjør begge.) Hint: hva er $(A{\vec{e}}_i)\cdot {\vec{e}}_j$?

Hvis og bare hvis:
Vi har allerde vist at hvis $(A\vec{x})\cdot \vec{y}=\vec{x}\cdot (A\vec{y})$ for alle $\vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n$, så er $A$ symmetrisk. Mangler å vise det andre veien:
Vi vet: $A$ er symmetrisk, $A^T=A$, $a_{ij}=a_{ji}$
Vi vil vise at: $\forall \vec{x},\vec{y}\in {\mathbb{R}}^n$ så er $(A\vec{x})\cdot \vec{y}=\vec{x}\cdot (A\vec{y})$
Husk: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ og at matrisemultiplikasjon av radvektor $\times$ søylevektor = skalarproduktet av søylevektorene.

VS: $(A\vec{x})\cdot \vec{y}=(A\vec{x}{)}^T\vec{y}={\vec{x}}^T{A}^T\vec{y}$
HS: $\vec{x}\cdot (A\vec{y})={\vec{x}}^T(A\vec{y})={\vec{x}}^{T}A\vec{y}$

$A$ er symmetrisk, så $A^T=A$, og ${\vec{x}}^T{A}^T\vec{y}={\vec{x}}^T(A\vec{y})={\vec{x}}^{T}A\vec{y}$
Disse vil være like hvis og bare hvis A er symmetrisk.

Eller heller skrive det opp slik:

$$\begin{array}{rl}(A\vec{x})\cdot \vec{y}& =(A\vec{x}{)}^T\vec{y}\\ & ={\vec{x}}^T{A}^T\vec{y}\\ & ={\vec{x}}^{T}A\vec{y}\\ & ={\vec{x}}^T(A\vec{y})\\ & =({\vec{x}}^T{)}^T\cdot (A\vec{y})\\ & =\vec{x}\cdot (A\vec{y})\end{array}$$

5.5 La $A$ være en $n\times n$-matrise som kommuterer med alle $n\times n$-matriser, altså $AB=BA$ for alle $B$. Vis at $A=c{I}_n$ for en skalar $c$.
Litt utenfor pensum i form, men bruker bare kap. 2. Hint: prøv $B=E_{ij}$, matrisen med $1$ i posisjon $(i,j)$ og $0$ ellers. Regn ut $A{E}_{ij}$ og $E_{ij}A$ komponentvis.

---

Tema 6 — Lineære avbildninger og matriser

Notat: Matriser

Enkle

6.1 La $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ først rotere en vektor $90^{\circ }$ mot klokka, og deretter speile den om $x$-aksen. Finn matrisen til $T$. Kjenner du igjen avbildningen?

6.2 La $\vec{b}=(3,4)$. Finn matrisen til avbildningen $\vec{x}\mapsto {\mathrm{proj}}_{\vec{b}}(\vec{x})$.

Kan vi utlede dette?

6.3 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ er lineær, og
$T\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\end{array}\right),T\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right).$
Finn matrisen til $T$.

Vanskeligere

6.4 La $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ være lineær.
a) Vis at $F(\vec{0})=\vec{0}$.
Kaller projeksjonsmatrisen til $F$ for $B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{m_1}& b_{m2}& \dots & b_{mn}\end{array}\right)$

$(B(\vec{0}){)}_i={\sum }_{r=1}^n{b}_{ir}{\vec{0}}_r={\sum }_{r=1}^n{b}_{ir}0$
For alle $i\in \{1,2,\dots ,m\}$ så er komponent $i$ i $F(\vec{0})$ lik null. Da må $F(\vec{0})=\vec{0}$

b) Vis at $F(s\vec{a}+t\vec{b})=sF(\vec{a})+tF(\vec{b})$ for alle skalarer $s,t$ og alle $\vec{a}=(a_1,a_2,\dots a_n),\vec{b}=(b_1,b_2,\dots b_n)$
Nå kaller vi matrisen til $F$ for $F$

$F(s\vec{a}+t\vec{b}{)}_i={\sum }_{r=1}^n{f}_{ir}((s\vec{a}{)}_r+(t\vec{b}{)}_r)={\sum }_{r=1}^n{f}_{ir}((s{a}_r)+t{b}_r)$
Distributivitet over addisjon (Nå er vi i de reelle tallene), + distribusjon av summer.
$={\sum }_{r=1}^n(f_{ir}s{a}_r+f_{ir}t{b}_r)={\sum }_{r=1}^{n}s(f_{ir}{a}_r)+{\sum }_{r=1}^{n}t(f_{ir}{b}_r)=(sF\vec{a}{)}_i+tF(\vec{b}{)}_i=(sF(\vec{a})+tF(\vec{b}){)}_i$
Og dette gjelder for alle $i\in \{1,2,\dots ,m\}$, altså er $F(s\vec{a}+t\vec{b})$ lik $sF(\vec{a})+tF(\vec{b})$

c) La $A$ være en $m\times n$-matrise og $\vec{c}\in {\mathbb{R}}^m$ med $\vec{c}\ne \vec{0}$. Vis at $G(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{c}$ ikke er lineær.

Vi vet: $A$ være en $m\times n$-matrise og $\vec{c}\in {\mathbb{R}}^m$ med $\vec{c}\ne \vec{0}$.
Vi vil vise: $G(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{c}$ ikke er lineær.

Vi viser ved motsigelse: Anta at $G(\vec{x})$ er lineær
Da må $G(t\vec{a})=tG(\vec{a})$

Uttrykker $\vec{x}$ som $t\vec{y}$, der $t\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$ (fordi om $t=1$ så blir $t\vec{y}=\vec{y}$ og da er vi ca like langt?)
Da er $G(\vec{x})=G(t\vec{y})=A(t\vec{y})+c=tA\vec{y}+c$
Siden $G(\vec{x})$ er lineær, er $G(t\vec{y})=t(G(\vec{y}))=t(A\vec{y}+\vec{c})=tA\vec{y}+t\vec{c}$

Dette gir at $\vec{c}=t\vec{c}$, og skal gjelde for $t\ne 1$
$t\vec{c}-\vec{c}=0$
$(t-1)(\vec{c})=0$ og $(t-1)$ blir aldri null
Men da har vi en selvmotsigelse, for dette gjelder bare når $\vec{c}=\vec{0}$
Derfor kan ikke $G(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{c}$ være lineær når $\vec{c}\ne \vec{0}$

Så kan vi også si at vi vet fra a) at $F(\vec{0})=\vec{0}$ om $F$ er lineær
$G(\vec{0})=A(\vec{0})+\vec{c}=c$ og da er ikke $G$ lineær

6.5 La $\vec{b}\in {\mathbb{R}}^n$ med $|\vec{b}|=1$, og sett $P=\vec{b}{\vec{b}}^T$.
a) Vis at $P\vec{x}={\mathrm{proj}}_{\vec{b}}(\vec{x})$ for alle $\vec{x}$.

b) Vis at $P^2=P$ og $P^T=P$. Forklar hvorfor $P^2=P$ er geometrisk rimelig.
c) Sett $S=I_n-2P$. Vis at $S^T=S$ og $S^2=I_n$. Hva gjør $S$ geometrisk? (Sjekk med $n=2$ og $\vec{b}=(1,0)$.)

---

Tema 7 — Mengder

Notat: Mengder · Kap. 1-3 i LYNKURS I MATEMATIKKENS GRUNNLAG

Enkle

7.1 La $A=\{1,2,3,4,5\}$, $B=\{4,5,6,7\}$ og $C=\{2,4,6,8\}$. Finn $A\cap B$, $A\cup B$, $A\setminus B$, $(A\cap B)\setminus C$ og $\#(A\cup B\cup C)$.

7.2 Skriv $\{x\in \mathbb{R}:x^2-3x+2\le 0\}$ som et intervall.

7.3 La $A=[0,3)$ og $B=(1,5]$. Finn $A\cap B$, $A\cup B$ og $A\setminus B$, og angi $\sup$ og $\inf$ av hver av de tre mengdene.
Merk: $\sup /\inf$ står ikke i lynkurset — det er MAT1100-overlapp (se Mengder). Selve mengdeoperasjonene er MAT1105-pensum.

Vanskeligere

7.4 La $A,B,C$ være mengder med $B\subseteq C$. Avgjør for hvert utsagn om det er sant. Bevis det, eller gi et konkret moteksempel.
a) $(A\setminus C)\subseteq (A\setminus B)$
b) $(A\cap B)\subseteq (A\cap C)$
c) $(B\setminus A)\cup (A\setminus B)\cup (A\cap B)=A\cup B$
d) $B^c\subseteq C^c$

7.5 Vis De Morgans lover for mengder,
$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c,(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c,$
ved å vise inklusjon begge veier. Forklar deretter presist hvordan beviset henger sammen med De Morgans lover for utsagn (Utsagnslogikk).

---

Tema 8 — Funksjoner

Notat: funksjoner

Enkle

8.1 La $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$. Finn den største definisjonsmengden $D_f\subseteq \mathbb{R}$, og finn verdimengden til $f$ restriktert til $(2,\infty )$.

8.2 La $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x$.
a) Er $f$ injektiv? Surjektiv? Begrunn.
b) Er $f:[1,\infty )\to [-2,\infty )$ bijektiv? Begrunn.

8.3 La $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$. Vis at $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}\setminus \{2\}$ er bijektiv, og finn $f^{-1}$.

Bijektiv forutsetter at $f$ er injektiv og surjektiv.
Injektiv:
$f^{\prime }(x)=2(x+3)-(2x-1)=\frac{7}{(x+3{)}^2}$ (ser at $f$ er kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde, antar at den er deriverbar for $\mathbb{R}\setminus -3$ (hvordan sjekker jeg evt d?))
Siden den deriverte er strengt positiv for hele sin definisjonsmengde, er $f$ strengt voksende (men hva om hopp og sånt?) nei dette er ikke gyldig

Den deriverte er definert og strengt positiv for $(-\infty ,-3)$ og $(3,\infty )$
Ser på funksjonsverdiene (grenseverdiene) ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\frac{\left(2-\frac{1}{x}\right)}{1+\frac{3}{x}}=2$
${\lim }_{x\to -3^{-}}f(x)={\lim }_{x\to -3^{-}}\frac{2x-1}{x+3}=+\infty$
${\lim }_{x\to \infty }f(x)=2$
${\lim }_{x\to -3^{+}}=-\infty$

Nå ser vi at funksjonen er strengt voksende for $(-\infty ,3)$ og $(3,+\infty )$, selv om verdiene for $(-\infty ,3)$ er høyere enn verdiene for $(3,\infty )$, overlapper de ikke.
Da er funksjonen en-entydig altså injektiv.

Surjektvitet har vi også vist ved grenseverdiene over: funksjonen er strengt voksende i to intervaller, og dekker verdimengden $\mathbb{R}\setminus \{2\}$

Da er $f$ bijektiv og har en invers

$f^{-1}(f(a))=a$

$$\begin{array}{rl}\frac{2x-1}{x+3}& =y\\ 2x-1& =y(x+3)=yx+3y\\ 2x-yx& =3y+1\\ x(2-y)& =3y+1\\ x& =\frac{3y+1}{2-y}\end{array}$$

$f^{-1}(y)=\frac{3y+1}{2-y}$

Vanskeligere

8.4 La $f:A\to B$ og $g:B\to C$ være funksjoner.
a) Vis at hvis $f$ og $g$ er injektive, så er $g\circ f$ injektiv.

Om $f$ er injektiv så har vi at $x_1\ne x_2⟹(f(x_1))\ne f(x_2)$, tilsvarende for $g(y)$

$x_1\ne x_2⟹a_1=f(x_1)\ne a_2=f(x_2)⟹g(a_1)\ne g(a_2)$
$g(a_1)=g\circ f(x_1)\ne g\circ f(x_2)=g(a_2)$

b) Vis at hvis $g\circ f$ er injektiv, så er $f$ injektiv. Gi et eksempel som viser at $g$ ikke trenger å være det.

Kontrapositivt: $f$ er ikke injektic $⟹$ $g\circ f$ er ikke injektiv
At $f$ ikke er injektiv gir at $x_1,x_2,a$ slik at $f(x_1)=f(x_2)=a$ og $x_1\ne x_2$
$g\circ f(x_1)=g(a)$
$g\circ f(x_2)=g(a)$
Dette gir at $g\circ f$ ikke er injektiv.

Da har vi at $f$ må være injektiv for at $g\circ f$ skal være injektiv.

La $f$ være $e^x$, som er injektiv. (Dette kan vises.)
La $g$ være $|x|$, som ikke er injektiv.

$f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{+}$
og for positive tall er $|x|$ bare $x$, og da injektiv
Som gir at $f\circ g$ er injektiv :)

c) Formuler og bevis de tilsvarende to påstandene for surjektivitet.
(Dette er Oppgave 3.10 i [2], litt utvidet.)

a) Vis at hvis $f$ og $g$ er surjektive, så er $g\circ f$ også surjektiv.
$f$ er definert fra $A\to B$, $g:B\to C$

Om $f$ er surjektiv, er $V_f=B=D_g$
Om $g$ er surjektiv, er $V_g=C$ (fordi $D_g$ er hele $B$ eller er ikke det en gang strengt nødvendig?)

b) Vis at hvis $f\circ g$ er surjektiv, så er $g$ surjektiv

At $f\circ g:A\to C$ er surjektiv betyr at $V_{f\circ g}=C$

8.5 La $n\in \mathbb{N}$, og la $A$ og $B$ være mengder med $\#A=\#B=n$. La $f:A\to B$ være en funksjon. Skriv et motsigelsesbevis for følgende utsagn:

Hvis $f$ er injektiv, så er $f$ også surjektiv.

Vi vet at $n\in \mathbb{N}$, og $A$ og $B$ er mengder med $\#A=\#B=n$. $f:A\to B$

$f$ er injektiv $⟹f$ er surjektiv
Motsigelse:
$f$ ikke er surjektiv $⟹f$ ikke injektiv

Hvis $f$ ikke er surjektiv, så er $f$ ikke injektiv
$f:A\to B$, husk $\#A=\#B=n$

Vi definerer $C$ som en ekte delmengde av $B$, der $\#C<\#A=\#B$
om $f$ ikke er surjektiv, betyr det at $f:A\to C$
Men: $\#C<\#A$, som betyr at to $x\in A$ nødvendigvis må ha samme verdi $f(x)\in C$
For at $f$ skal være injektiv, må definisjonsmengden og verdimengden inneholde like mange verdier.

---

Tema 9 — Utsagnslogikk og kvantorer

Notat: Utsagnslogikk · bevisteknikk

Enkle

9.1 Sett opp sannhetstabell for $(P\wedge \neg Q)\vee (\neg P\wedge Q)$ og vis at utsagnet er ekvivalent med $\neg (P\iff Q)$.

9.2 Forenkle $(P\wedge Q)\vee (\neg P\wedge Q)\vee (P\wedge \neg Q)$ mest mulig, og begrunn med sannhetstabell.

9.3 Finn negasjonen av $(P\vee \neg Q)\wedge \neg P$ og forenkle den mest mulig. Bruk De Morgan, og kontroller med sannhetstabell.

9.4 Finn negasjonen av følgende utsagn, både med kvantorer og i ord:

For alle $\epsilon >0$ finnes det en $N\in \mathbb{N}$ slik at for alle $n\ge N$ er $|x_n-x|<\epsilon$.

Tolkning: jo lenger ut i følgen

$\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}:(\forall n\ge N⟹|x_n-x|<ϵ)$

Negasjon: Det eksisterer en $ϵ>0$ slik at for alle $N\in \mathbb{N}$ eksisterer en $n\ge N$ og $|x_n-x|>ϵ$
Negasjon $\exists ϵ>0\forall N\in \mathbb{N}:(\exists n\ge N\wedge |x_n-x|>ϵ)$

Vanskeligere

9.5 La $A\subseteq \mathbb{R}$, og betrakt utsagnet

For alle $a\in A$ finnes det en $r>0$ slik at for alle $x$ med $|x-a|<r$ er $x\in A$.

a) Skriv utsagnet med kvantorer.
$\forall a\in A,\exists r>0:\forall x:(|x-a|<r⟹x\in A)$
b) Finn negasjonen, både med kvantorer og i ord.

$\exists a\in A\forall r>0:\exists x:((|x-a|<r)\wedge x\notin A)$

c) Avgjør om utsagnet er sant for $A=(0,1)$, $A=[0,1]$ og $A=\mathbb{Q}$. Begrunn hvert svar.

$A=(0,1)$

Confused. Se på dette i morgen.

9.6 La $P(n)$ og $Q(n)$ være predikater på $\mathbb{N}$. Betrakt
$\text{(i)}(\forall nP(n))\vee (\forall nQ(n)),\text{(ii)}\forall n(P(n)\vee Q(n)).$
a) Vis at (i) $\Rightarrow$ (ii).
b) Gi et konkret moteksempel som viser at (ii) $\nRightarrow$ (i).
c) Hva skjer hvis du bytter $\vee$ med $\wedge$ begge steder? Er de to da ekvivalente? Begrunn.

---

Tema 10 — Bevisteknikk og induksjon

Notat: bevisteknikk · Induksjon

Enkle

10.1 Skriv et direkte bevis: hvis $n\in \mathbb{Z}$ er et oddetall, så er $n^2-1$ delelig med $8$.

10.2 Skriv et kontrapositivt bevis: la $x,y\in \mathbb{N}$. Hvis $xy$ er et oddetall, så er både $x$ og $y$ oddetall.

10.3 Bevis med induksjon at $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$ for alle $n\ge 1$.

10.4 Skriv et motsigelsesbevis for at $\sqrt{6}$ er irrasjonal. Hvor i beviset bruker du at $6$ ikke er et kvadrattall?

Vanskeligere

10.5 (Bernoullis ulikhet) Bevis med induksjon at for alle $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 1$, og alle reelle $x\ge -1$ gjelder
$(1+x{)}^n\ge 1+nx.$
Pek nøyaktig ut hvor i beviset du bruker antagelsen $x\ge -1$, og gi et eksempel som viser at påstanden blir usann uten den.

10.6 (sterk induksjon) Bruk sterk induksjon til å vise at ethvert heltall $n\ge 2$ kan skrives som et produkt av ett eller flere primtall.
Forklar i én setning hvorfor vanlig induksjon ikke er nok her — altså hvorfor du trenger å anta påstanden for alle $k$ med $2\le k<n$, ikke bare for $n-1$.

10.7 (finn feilen) Under står et «teorem» med «bevis».

Teorem. For alle $n\ge 1$ er $1+2+\cdots +n=\frac{n^2+n+2}{2}$.

Bevis. Anta at påstanden holder for $n$. Da er
$1+2+\cdots +n+(n+1)=\frac{n^2+n+2}{2}+(n+1)=\frac{n^2+3n+4}{2}=\frac{(n+1{)}^2+(n+1)+2}{2},$
som er påstanden for $n+1$. Beviset er fullført. $\square$

a) Er induksjonssteget riktig? Regn etter.
b) Er teoremet sant? Hva er den korrekte formelen?
c) Forklar presist hva som mangler, og hvorfor det er nok til å ødelegge hele beviset.

10.8 (bonus, bittelitt over pensum) Betrakt utsagnet

For alle $n\in \mathbb{N}$ er $n^2+n+11$ et primtall.

a) Sjekk utsagnet for $n=0,1,2,\dots ,9$.
b) Finn den minste $n$ der utsagnet er usant, og vis hvorfor.
c) Forklar hvorfor et induksjonsbevis for et slikt utsagn må bryte sammen, selv om grunntrinnet og mange induksjonssteg ser ut til å gå fint.

---

Tema 11 — Gausseliminasjon, trappeform og elementærmatriser

Notat: GAUSSELIMINASJON

Enkle

11.1 Radreduser
$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 2\\ 1& 2& 1& 5\\ 3& 6& 0& 9\end{array}\right)$
til redusert trappeform. Skriv opp hver radoperasjon du bruker. Hvilke søyler er pivotsøyler?

11.2 Avgjør for hver matrise om den er på redusert trappeform. Hvis ikke: hvilken regel er brutt?
$\text{(a)}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -1\end{array}\right)\text{(b)}\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(c)}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\text{(d)}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\text{(e)}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right)$

11.3 Elementærmatriser ($3\times 3$).
a) Skriv opp elementærmatrisen $E$ for operasjonen «legg til $-3$ ganger rad 1 til rad 3», og elementærmatrisen $F$ for den omvendte operasjonen. Sjekk at $FE=I_3$.
b) Regn ut $EA$ for $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 4\\ 3& 5& 2\end{array}\right)$, og bekreft at det er det samme som å gjøre radoperasjonen direkte på $A$.
c) La $E_1$ bytte rad 1 og 2, og la $E_2$ gange rad 2 med 4. Regn ut $E_2{E}_1$ og $E_1{E}_2$. I hvilken rekkefølge blir operasjonene utført, og hvorfor blir svarene forskjellige?
(Samme type som oppg. 10 på prøvemidtveis H25 og Oppgave 3.7 i [1].)

Vanskeligere

11.4 La $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 6& 4\end{array}\right)$.
a) Radreduser $A$ til $I_2$, og skriv opp elementærmatrisene $E_1,E_2,\dots$ du bruker, slik at $E_k\cdots E_{1}A=I_2$.
b) Skriv $A$ som et produkt av elementærmatriser. (Hint: bruk de omvendte operasjonene.)
c) Hva sier Teorem 3.1 i [1] da om likningssystemet $A\vec{x}=\vec{b}$? Forklar uten å regne.
(Samme type som oppg. 4b på prøveeksamen 2024.)

11.5 Vi skriver $A\sim B$ hvis $B$ kan fås fra $A$ ved en serie elementære radoperasjoner. Vis at $\sim$ er en ekvivalensrelasjon på mengden av $m\times n$-matriser, altså at relasjonen er
a) refleksiv: $A\sim A$
b) symmetrisk: $A\sim B\Rightarrow B\sim A$
c) transitiv: $A\sim B$ og $B\sim C$ $\Rightarrow$ $A\sim C$.

Hint til b): hver radoperasjon kan reverseres. Skriv gjerne $B=E_k\cdots E_{1}A$ med elementærmatriser. (Ekvivalensrelasjoner er definert i Tillegg A i [2].)

---

Tema 12 — Likningssystemer og løsningsmengder

Notat: GAUSSELIMINASJON

Enkle

12.1 Løs de to systemene $A\vec{x}={\vec{b}}_1$ og $A\vec{x}={\vec{b}}_2$ samtidig ved å radredusere $(A\mid {\vec{b}}_1{\vec{b}}_2)$, der
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 5\\ 2& 5& -1\end{array}\right),{\vec{b}}_1=\left(\begin{array}{c}6\\ 19\\ 9\end{array}\right),{\vec{b}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 10\\ -4\end{array}\right).$
(Avsnitt 3.2 i [1].)

12.2 Finn alle løsninger, og skriv løsningsmengden på parameterform. Hvilke variabler er frie?
$\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2-x_3+x_4& =3\\ 2x_1+4x_2-x_3+3x_4& =7\\ x_1+2x_2+x_3+3x_4& =5\end{array}$

12.3 For hvilke verdier av $a$ og $b$ har systemet
$\begin{array}{rl}x+y+z& =2\\ x+2y+3z& =5\\ 2x+3y+az& =b\end{array}$
(i) nøyaktig én løsning, (ii) uendelig mange løsninger, (iii) ingen løsning? Finn løsningsmengden i tilfelle (ii).
(Samme type som oppg. 6 på midtveis H24 og H25.)

Vanskeligere

12.4 La $A\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$. Anta at $A\vec{x}=(1,0,2)$ har løsningen $\vec{x}=(2,1,0)$, og at $A\vec{y}=(0,1,1)$ har løsningen $\vec{y}=(1,-1,3)$.
a) Finn en løsning av $A\vec{z}=(3,-2,4)$. (Hint: skriv høyresiden som en lineærkombinasjon av de to høyresidene du kjenner.)
b) La ${\vec{x}}_p$ være en løsning av $A\vec{x}=\vec{b}$. Vis at $\vec{x}$ er en løsning av $A\vec{x}=\vec{b}$ hvis og bare hvis $\vec{x}-{\vec{x}}_p$ er en løsning av $A\vec{x}=\vec{0}$.
c) Bruk b) til å vise: hvis $A\vec{x}=\vec{b}$ har minst én løsning, og $A\vec{x}=\vec{0}$ har en løsning $\vec{v}\ne \vec{0}$, så har $A\vec{x}=\vec{b}$ uendelig mange løsninger.
d) Kan vi med opplysningene over si at $A\vec{z}=(3,-2,4)$ har nøyaktig én løsning? Begrunn.
(a) og d) er samme type som oppg. 11 på midtveis H24 og H25.)

12.5 La $A$ være en $m\times n$-matrise med $m<n$, altså færre likninger enn ukjente.
a) Vis at $A\vec{x}=\vec{0}$ alltid har en løsning $\vec{x}\ne \vec{0}$. (Hint: hvor mange pivotsøyler kan $A$ høyst ha? Bruk Proposisjon 3.4 i [1].)
b) Vis at hvis $A\vec{x}=\vec{b}$ har én løsning, så har den uendelig mange. (Bruk 12.4.)
c) Gausseliminasjon på en $n\times n$-matrise krever omtrent $2n^3/3$ operasjoner (Proposisjon 3.5 i [1]). En datamaskin løser et system med $n=1000$ på 0,5 sekunder. Omtrent hvor lang tid tar det med $n=10000$? Og hvorfor lønner det seg å løse flere systemer med samme $A$ samtidig, slik som i 12.1?

---

Tema 13 — Inverse matriser

Notat: Inverse matriser

Enkle

13.1 (Oppgave 4.1 i [1] og 4a på prøveeksamen 2024.) Finn den inverse matrisen til
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 0& 1& 4\\ 1& -2& -6\end{array}\right)$
ved å radredusere $(A\mid I_3)$. Kontroller svaret ved å regne ut $A{A}^{-1}$.

13.2 (Oppgave 4.2 i [1].) En $2\times 2$-matrise $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ er inverterbar hvis og bare hvis $ad-bc\ne 0$, og da er inversen $\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.
a) Bruk formelen til å finne inversen til $B=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$.
b) Løs $B\vec{x}=(1,0)$ og $B\vec{x}=(4,1)$ ved å gange med $B^{-1}$.
c) Hvorfor er det å gange med $B^{-1}$ det samme som å løse likningssystemet? Svar med én setning.

13.3 Sant eller usant? Begrunn kort. $A$ og $B$ er inverterbare $n\times n$-matriser.
a) $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$
b) $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$ (Oppgave 4.3 i [1].)
c) En matrise med en nullrad kan ikke være inverterbar. (Oppgave 4.4 i [1].)
d) $A+B$ er inverterbar.

Vanskeligere

13.4 (Oppgave 1 på eksamen 2024 og oppgave 4.7 i [1].) En kvadratisk matrise $A$ er nilpotent hvis det finnes en $k\in \mathbb{N}$ slik at $A^k=0$. Skriv et motsigelsesbevis for:

La $A$ være en nilpotent matrise. Da er $A$ ikke inverterbar.

13.5 (Oppgave 3 på konteeksamen 2024.) La $E=\{A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}:A\text{ er inverterbar}\}$, og definer $f:E\to E$ ved $f(A)=A^{-1}$. Avgjør om $f$ er (i) veldefinert, (ii) injektiv, (iii) surjektiv og (iv) inverterbar.
Hint: Hva er $f(f(A))$?

---

Tema 14 — Lineærkombinasjoner, span og lineær uavhengighet

Notat: Lineær avhengighet og sånt

Kartet: nesten alt handler om likningen $A\vec{x}=\vec{b}$

La ${\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n$ være søylene i $A$ (en $m\times n$-matrise). Det viktigste faktumet i hele kapittelet er
$A\vec{x}=x_1{\vec{a}}_1+x_2{\vec{a}}_2+\cdots +x_n{\vec{a}}_n.$
Å gange en matrise med en vektor er å lage en lineærkombinasjon av søylene. Alt under følger av det.

Spørsmål	Det samme som	Sjekkes med pivoter
Er $\vec{b}\in \mathrm{Sp}({\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n)$?	Har $A\vec{x}=\vec{b}$ en løsning?	Siste søyle i $(A\mid \vec{b})$ er ikke pivotsøyle
Spenner søylene ${\mathbb{R}}^m$?	Har $A\vec{x}=\vec{b}$ en løsning for alle $\vec{b}$?	Pivot i hver rad
Er søylene lineært uavhengige?	Har $A\vec{x}=\vec{0}$ bare løsningen $\vec{x}=\vec{0}$?	Pivot i hver søyle (ingen frie variabler)
Er søylene en basis for ${\mathbb{R}}^m$?	Begge de to over	Pivot i hver rad og hver søyle (så $m=n$)

Søylerommet $\mathrm{Col}(A)$ er mengden av alle $\vec{b}$ du kan «nå» med $A$. Nullrommet $\mathrm{Nul}(A)$ er mengden av alle $\vec{x}$ som sendes til $\vec{0}$. Uavhengige søyler betyr at ingen ikke-null $\vec{x}$ «forsvinner».

Enkle

14.1 La ${\vec{a}}_1=(1,2,3)$ og ${\vec{a}}_2=(0,1,2)$.
a) Skriv ${\vec{b}}_1=(2,5,8)$ som en lineærkombinasjon av ${\vec{a}}_1$ og ${\vec{a}}_2$, eller vis at det ikke går.
b) Samme spørsmål for ${\vec{b}}_2=(1,0,0)$.
c) Beskriv $\mathrm{Sp}({\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2)$ geometrisk, og finn en likning $px+qy+rz=0$ for den.

14.2 Er vektorene lineært uavhengige? Bruk så lite regning som mulig.
a) $(1,2)$ og $(3,6)$
b) $(1,0,1)$, $(0,1,1)$ og $(1,1,0)$
c) Fire vilkårlige vektorer i ${\mathbb{R}}^3$
d) $(1,2,3)$, $(0,0,0)$ og $(4,5,6)$

14.3 (Hva betyr «på en entydig måte»?) Definisjonen i [1] sier at vektorene er lineært uavhengige hvis hver $\vec{b}$ i spennet kan skrives som en lineærkombinasjon på bare én måte. La ${\vec{a}}_1=(1,0)$, ${\vec{a}}_2=(0,1)$ og ${\vec{a}}_3=(1,1)$.
a) Skriv $(2,3)$ som en lineærkombinasjon av ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3$ på to forskjellige måter.
b) Trekk de to uttrykkene fra hverandre. Hvilken lineærkombinasjon av ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3$ gir $\vec{0}$?
c) Forklar med egne ord hvorfor «flere måter å skrive $\vec{b}$ på» og «en ikke-triviell kombinasjon som gir $\vec{0}$» er det samme. (Det er beviset for Proposisjon 5.1 i [1].)

Vanskeligere

14.4 (Oppgave 2 på prøveeksamen 2024.) La ${\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n\in {\mathbb{R}}^m$, der $n>m$. Bevis at ${\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n$ er lineært avhengige, altså at det finnes $x_1,\dots ,x_n$ som ikke alle er $0$, slik at $x_1{\vec{a}}_1+\cdots +x_n{\vec{a}}_n=\vec{0}$.

14.5 (Oppgave 5.10 a–b i [1].) La $T$ være en lineær avbildning, og la ${\vec{x}}_1,\dots ,{\vec{x}}_k$ være vektorer.
a) Anta at $T({\vec{x}}_1),\dots ,T({\vec{x}}_k)$ er lineært uavhengige. Vis at ${\vec{x}}_1,\dots ,{\vec{x}}_k$ er lineært uavhengige.
b) Anta at $T$ er injektiv, og at ${\vec{x}}_1,\dots ,{\vec{x}}_k$ er lineært uavhengige. Vis at $T({\vec{x}}_1),\dots ,T({\vec{x}}_k)$ er lineært uavhengige.
c) Gi et eksempel som viser at b) ikke holder uten at $T$ er injektiv.

---

Tema 15 — Underrom: søylerom, radrom, nullrom, basis og rang

Notat: Lineær avhengighet og sånt

Hvorfor tar vi pivotsøylene fra $A$, og ikke fra trappeformen?

Radoperasjoner endrer søylerommet, men bevarer de lineære avhengighetsrelasjonene mellom søylene (Proposisjon 5.2 i [1]). Trappeformen forteller deg derfor hvilke søyler som er uavhengige, men selve vektorene må du hente fra den opprinnelige matrisen.
Radrommet bevares av radoperasjoner. Der kan du bruke pivotradene i trappeformen direkte.

Enkle

15.1 Hvilke av mengdene er underrom? Sjekk de tre kravene: $\vec{0}$ er med, mengden er lukket under addisjon, og den er lukket under skalering. Gi et moteksempel når svaret er nei.
a) Linja $y=2x$ i ${\mathbb{R}}^2$
b) Linja $y=2x+1$ i ${\mathbb{R}}^2$
c) Første kvadrant, $\{(x,y):x\ge 0,y\ge 0\}$
d) $\{(x_1,x_2,x_3):x_1+x_2+x_3=0\}$
e) Enhetssirkelen $\{(x,y):x^2+y^2=1\}$
f) $\{\vec{0}\}$

15.2 (Oppgave 5.2 i [1].) La
$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 1& -1\\ 1& -1& 2& 3\\ -1& -11& 4& 11\end{array}\right).$
a) Finn en basis for radrommet og en basis for søylerommet til $A$. Hva er rangen til $A$?
b) Finn en basis for nullrommet. Hva er dimensjonen? Sjekk at $\mathrm{rang}(A)+\dim \mathrm{Nul}(A)=4$.

15.3 (Konseptuell, samme type som oppgave 9 på midtveis 2026.) La $A$ være en $3\times 5$-matrise med rang $3$. Svar uten å regne:
a) Hva er $\dim \mathrm{Col}(A)$? Er $\mathrm{Col}(A)={\mathbb{R}}^3$?
b) Hva er $\dim \mathrm{Nul}(A)$?
c) Har $A\vec{x}=\vec{b}$ en løsning for alle $\vec{b}$? Er løsningen entydig?
d) Er søylene i $A$ lineært uavhengige?

Vanskeligere

15.4 (Oppgave 4 på eksamen 2025. Oppgave 5.3 i [1] og oppgave 4 på eksamen 2024 er av samme type.) La
$A=\left(\begin{array}{cccc}4& 2& 4& 14\\ 1& -1& 7& -1\\ 3& 3& -3& 15\end{array}\right).$
a) Finn en basis for søylerommet til $A$.
b) Utvid basisen fra a) til en basis for ${\mathbb{R}}^3$.

15.5 (Oppgave 3 på eksamen 2025.) Definer $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^4$ ved $f(\vec{x})=A\vec{x}$, der
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& 1& 2\\ 1& 2& 2\\ 2& -2& 4\end{array}\right).$
Avgjør om $f$ er (i) veldefinert, (ii) injektiv, (iii) surjektiv og (iv) inverterbar. Forklar hvordan svarene henger sammen med $\mathrm{Nul}(A)$ og $\mathrm{Col}(A)$.

15.6 (Oppgave 5.5 og 5.6 i [1].)
a) Vis at $\mathrm{Sp}({\vec{a}}_1,\dots ,{\vec{a}}_n)$ er et underrom av ${\mathbb{R}}^m$.
b) La $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ være en mengde. Vis at det ortogonale komplementet $S^{\perp }=\{\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n:\vec{x}\cdot \vec{s}=0\text{ for alle }\vec{s}\in S\}$ er et underrom.

---

Tema 16 — Koordinater og basisskifte

Enkle

16.1 (Oppgave 5.14 i [1].) Finn koordinatvektoren til $\vec{x}=(-10,20)$ relativt til basisen $\mathcal{B}=\{(2,4),(-4,2)\}$.

16.2 (Oppgave 5.15 i [1].) La $\mathcal{A}=\{(-1,1),(1,1)\}$ og $\mathcal{B}=\{(-1,2),(-1,3)\}$.
a) Finn basisskiftematrisen $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{A}}$.
b) La $\vec{x}=4{\vec{a}}_1-5{\vec{a}}_2$. Finn $[\vec{x}{]}_{\mathcal{B}}$.

Vanskeligere

16.3 (Oppgave 5.16 i [1].) La $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ ha matrise $\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ -6& 2\end{array}\right)$. Finn matrisen til $T$ relativt til $\mathcal{B}=\{(3,1),(-1,4)\}$, altså $[T{]}_{\mathcal{B}}$.
Hint: Søylene i $[T{]}_{\mathcal{B}}$ er $[T({\vec{b}}_1){]}_{\mathcal{B}}$ og $[T({\vec{b}}_2){]}_{\mathcal{B}}$.

16.4 (Oppgave 5.11 i [1].) La $P$ være en inverterbar $m\times m$-matrise og $A$ en $m\times n$-matrise. Vis at $\mathrm{Col}(A)$ og $\mathrm{Col}(PA)$ har samme dimensjon.
Hint: $P$ er et produkt av elementærmatriser.

---

Tema 17 — Determinanter

Enkle

17.1 (Oppgave 6.1 i [1].) Regn ut
a) $\left|\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 3\end{array}\right|$
b) $\left|\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 3& -1& 7\\ 0& 2& 5\end{array}\right|$
c) $(2,0,4)\times (-1,2,1)$

17.2 (Oppgave 6.5 i [1] og 4b på prøveeksamen 2024.) Regn ut determinanten til matrisen $A$ fra oppgave 13.1 på to måter: ved å følge radoperasjonene fra Gausseliminasjonen, og ved å ekspandere langs første søyle. Hva sier svaret om $A$?

17.3 La $A$ og $B$ være $3\times 3$-matriser med $\det (A)=2$ og $\det (B)=-3$. Finn
a) $\det (3A)$
b) $\det (A^T)$
c) $\det (A^{-1})$
d) $\det (AB)$
e) $\det (A^2{B}^{-1})$
f) determinanten til matrisen du får ved å bytte to rader i $A$.

Vanskeligere

17.4 (Oppgave 6.4 i [1].) La $\vec{a}=(-1,2,-2)$, $\vec{b}=(2,-1,4)$ og $\vec{c}=(3,3,1)$.
a) Finn en likning for planet gjennom de tre punktene.
b) Finn arealet av parallellogrammet utspent av $\vec{a}$ og $\vec{b}$.
c) Finn volumet av parallellepipedet utspent av $\vec{a}$, $\vec{b}$ og $\vec{c}$.

17.5 (Oppgave 6.9 og 6.10 i [1].)
a) La $A$ være inverterbar. Vis at $\det (A^{-1})=1/\det (A)$.
b) La $U$ være reell med $U^{T}U=I_n$ (ortogonal). Vis at $\det (U)=\pm 1$.

---

Tema 18 — Alt henger sammen

)

For en $n\times n$-matrise $A$ er disse ekvivalente:

1. $A$ er radekvivalent med $I_n$.
2. $A\vec{x}=\vec{0}$ har bare løsningen $\vec{x}=\vec{0}$, altså $\mathrm{Nul}(A)=\{\vec{0}\}$.
3. $A\vec{x}=\vec{b}$ har entydig løsning for alle $\vec{b}$.
4. $A$ er et produkt av elementærmatriser.
5. $A$ er inverterbar.
6. Søylene i $A$ er en basis for ${\mathbb{R}}^n$, altså $\mathrm{rang}(A)=n$.
7. $\det (A)\ne 0$.

Alle sju sier det samme: det er en pivot i hver rad og hver søyle. For en kvadratisk matrise gir det ene det andre, fordi antall rader er lik antall søyler.

Enkle

18.1 Fyll ut tabellen for de to matrisene
$S=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 7\\ 3& 6& 10\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 5& 1\\ 0& 1& 3\end{array}\right).$

	$S$	$T$
Pivotsøyler
Rang
Basis for $\mathrm{Col}$
Basis for $\mathrm{Nul}$
Er søylene uavhengige? Spenner de ${\mathbb{R}}^3$?
$\det$
Inverterbar?

18.2 Sant eller usant? Begrunn kort, gjerne med et moteksempel. $A$ er $n\times n$ der ikke noe annet står.
a) Hvis søylene i $A$ er lineært avhengige, er $\det (A)=0$.
b) Hvis $A\vec{x}=\vec{0}$ har uendelig mange løsninger, kan $A\vec{x}=\vec{b}$ likevel ha nøyaktig én løsning for en $\vec{b}$.
c) Søylene i en $4\times 6$-matrise er lineært avhengige.
d) Søylene i en $6\times 4$-matrise kan spenne ${\mathbb{R}}^6$.
e) Hvis $A$ og $B$ er radekvivalente, er $\mathrm{Col}(A)=\mathrm{Col}(B)$.
f) Hvis $\det (A)=0$, har $A\vec{x}=\vec{b}$ ingen løsning.
g) $\mathrm{rang}(A)=\mathrm{rang}(A^T)$.
h) Hvis $A$ er $3\times 3$ og $\mathrm{Col}(A)$ er et plan, er $\dim \mathrm{Nul}(A)=1$.

Vanskeligere

18.3 (Oppgave 3 på eksamen 2024.) Definer $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ ved $f(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{b}$, der
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 0& 5\\ 2& 1& 1\end{array}\right),\vec{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right).$
Avgjør om $f$ er (i) veldefinert, (ii) injektiv, (iii) surjektiv og (iv) inverterbar. Er $f$ lineær?

18.4 (Oppgave 3 på prøveeksamen 2025.) Definer $f:{\mathbb{R}}^5\to {\mathbb{R}}^3$ ved $f(\vec{x})=A\vec{x}$, der
$A=\left(\begin{array}{ccccc}2& -2& 6& 1& 4\\ 1& -3& 1& 2& 1\\ 4& 1& 4& -1& -2\end{array}\right).$
Avgjør om $f$ er (i) veldefinert, (ii) injektiv, (iii) surjektiv og (iv) inverterbar. Hvilket av svarene kan du gi uten å regne i det hele tatt?

---

Bonus — Python/numpy

Notat: Kap 1 - Vektorer · Matriser

Ikke eksamensrelevant

Detaljer i pensum: «Programmering vil ikke bli gitt på eksamen.» Koden er med for å koble stoffet til IN1900 — og til obligene. Ta dette bare hvis du har lyst.

B.1 Hva skriver disse ut? Svar uten å kjøre koden.

import numpy as np
a = np.array([2, 4, 6, 8, 10])
print(a[0:5:2])
print(a[-1])
print(np.sum(a), np.prod(a))

B.2 La A = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]]). Skriv én linje kode som gir
a) søyle 3 som vektor, b) $A^T$, c) maksverdien i hver søyle, d) matrisen $A^{T}A$.

B.3 Forklar forskjellen på A*B og A @ B for to $2\times 2$-matriser, og gi et eksempel der begge er definert, men gir ulikt svar.

---

Lykke til! Du trenger ikke levere alt — plukk det du vil ha tilbakemelding på.