Mengder

Først litt om implikasjon?

Implikasjon: Vi påstår P, og at $P⟹Q$, Q er sant.
Dersom vi fra P kan utlede Q:$P⟹Q$

"Q er minst like sann som P"

annet viktig poeng: og betyr BÅDE OG, eller betyr ELLER (ikke enten eller)

Sannhetstabell:

P	Q	$P⟹Q$
U	U	S
U	S	S
S	U	U
S	S	S

Sannhetsverdi er uavhengig av veien mellom P og Q…
“Alle synes dette er rart
Farris men bare på torsdager osv.

resten her Utsagnslogikk

Mengder

A snitt B
$A\cap B\{x:x\in Aogx\in B\}$

A union B
$A\cup B\{x:x\in A\cup x\in B\}$

$A\setminus B\{x:x\in A\cap x\notin B\}$

$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\cap x\le b\}$
$[a,b)=\{x:x\in \mathbb{R}:x\le a\cap a<b\}$

$\varnothing =$ den tomme mengden
En mengde kan ikke være element i seg selv! (Skaper selvmotsigeler? Bortsett fra spesialtilfeller)

Mengdebygging

Mengder kan bygges og skrives på litt ulike måter, dette blir vi forhåpentligvis vant til etter hvert.
$\{x+7\mid x\in M\}$ | betyr SLIK AT

Begrensninger

$x\in \mathbb{R}:x\ge y\forall y\in A$ er øvre begrensninger til A (x $\ge y$ for alle $y\in A$ )
sup U = minste øvre begrensning (les supremum U) (tenk superior)

$x\in \mathbb{R}:x\le y\forall y\in A$ er nedre begrensinger til A
inf U = største nedre begrensning (les infimum U) (tenk inferior (takk Ida))

Mengden av begrensinger

kan vi ganske enkelt definere.
$A=[a,b)$ har øvre begrensninger $[b,+\infty )$

AKSIOM: for $A\ne \varnothing$, $A\subseteq \mathbb{R}$, som har en øvre begrensning, har et supremum.

Kjapt om par

$(x,y)=(x^{\prime },y^{\prime })$ hvis og bare hvis $x=x^{\prime }\cap y=y^{\prime }$

Eksempel på mengdebygging med par:
$C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1\}$ (enhetssirkelen :-) )

Mengdeteorier

Naiv mengdeteori: Tillater mengdebygging av $\{x:P(x)\}$ P er en egenskap
I naiv mengdeteori er mengder verktøy. (Problemet med naiv mengdeteori: selvmotsigelser. Mengden av alle mengder - er element i seg selv? )
Aksiomatisk mengdeteori: Ønsker å danne et presist grunnlag for hele matematikken
Alt er mengder. På hvilken måte? (hva er elementene til et tall?)
$\varnothing$ er en mengde med null elementer? Aksiomatisk: $\varnothing =0$, $1=\{\varnothing \}$, $2=\{0,1\}$ (“Dette er ikke et synspunkt vi skal fortsette med i dette kurset, men artig å ha med.”)

Vis at $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\notin \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$

sjekker om $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}=\varnothing$
$\varnothing \in \varnothing$ er utelukket

og vice versa. Motsigelsesbevis.
sjekker om $\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}=\{\varnothing \}$
nope
Generelt i aksiomatisk mengdeteori: for alle $A,A\notin A$
Kan argumenteres for…

$\sqrt{2}$

Vi ser på $I=\{x\in \mathbb{R}:x\ge 0\cap x^2\le 2\}$
i all hemelighet: $x^2\le 2betyrx\le \sqrt{2}$
Vi sjekker at $I$ har en øvre begrensing, nemlig 2
La $x\in I$
Vi vil sjekke at $x\le 2$
HVis ikke: $x>2$ som gir $x^2\le 2$

Vi innfører ved hjelp av aksiomet $r=supI$
Vi vil sjekke at $r^2=2$

neste emne: Induksjon