bevisteknikk

$\forall$ for alle
$\exists$ finnes en

$\neg$ negasjon

Eksempel:
La $x_1,x_2,x_3,..,\in \mathbb{R}$
$x_n$ konvergerer mot $x$ nør $n\to \infty$

$P\iff \forall ϵ>0,\exists N\in \mathbb{N},\forall n\ge N|x_n-x|<ϵ$

hvorfor er det $x_n-x$

(defininosjn av konvergens)
Negasjon: $\forall$ blir $\exists$
og vi snur noen av ulikhetene?

Bevisteknikk

“det er en lang prossess det å føre bevis. man bør utsettes for mange ulike typer beviser”

Tips:
$(i):\text{Les noen beviser, ta pause og forsøk a˚ rekonstruere}$
$(ii:)\text{Se pa˚ fasit na˚r du sta˚r fast}$

Vanlige former for teoremer:

1. Utsagn P er sant
2. Hvis P er sann, så er også Q sann ($⟹$)
3. Hvis $P(n)$ er sann så er også $Q(n)$ sann. Betinget utsagn.

Skriv antagelse og konklusjon tydelig.

$$\begin{array}{rl}x& =x^2-9\\ x& =(x-3)(x+3)\end{array}$$

Motsigelsesbevis

Anta det motsatte, og vis at det fører til en selvmotsigelse.

$\neg (P⟹Q)=P\wedge \neg Q$
eksempel: $a\in \mathbb{R}$, $b\in \mathbb{Q}⟹ab\in \mathbb{Q}$

“spezielt betinget motsigelsebevis” Det du skal bevise har formen P leder til Q

Kontrapositivt bevis

$P⟹Q$ skal man vise at $\neg P⟸\neg Q$

er dette riktig

Induksjonsbevis

Induksjon