Lineær avhengighet og sånt

Intuisjon: Lineært uavhenige vektorer kan du ikke kombinere og komme tilbake til samme punkt. (altså summen av vektorene $=0$)
Tenk ortogonale, men også bare har en komponent de andre ikke har f.eks. eller mer komplisert.

vektorene $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\dots ,\overrightarrow{a_n}$ er lineært uavhengige dersom hver $\vec{b}\in Sp(\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\dots ,\overrightarrow{a_n})$ kan skrives som en lineær kombinasjon $c_1{\vec{a}}_1+c_2\overrightarrow{a_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{a_n}$ på en unik måte (og hva i all verden betyr unik måte? bare 1 unik måte? 1 og bare 1 unik måte)

I hvertfall:
$\{\overrightarrow{a_i}{\}}_{i=1}^n$ er lineært uavhengige betyr at ($⟺$)
$c_1\overrightarrow{a_1}+c_2\overrightarrow{a_2}+\cdots +c_n\overrightarrow{a_n}$ alltid impliserer at $c_1=c_2=\cdots =c_n=0$
Gir mening. Dersom to $\vec{a}$ er lineært avhengige, vil de kunne kansellere hverandre.

Linearitet

i seg selv? Fra lineære transformasjoner:
$F(\vec{a}+\vec{b})=F(\vec{a})+F(\vec{b})$
$cF(\vec{a})=F(c\vec{a})$

Der $F$ er en lineær transformasjon (eller en matrise:) )ja det blir kinda det samme.

Radekvivalente matriser deler lineare avhengighetsrelasjoner mellom søyler. Gir kinda kinda intuitivt mening.

Dersom $A\vec{x}=\vec{b}$ har en løsning, så er $\vec{b}$ en lineær kombinasjon av $\{a_i{\}}_{i=1}^n$
dersom $A\vec{x}=\vec{b}$ kun har 1 løsning: lineær kombinasjon på unik måte
$\{a_i{\}}_{i=1}^n$span ${\mathbb{R}}^m$ $A\vec{x}=\vec{b}$ har alltid en løsning. Alle rader er pivotrader. Hva skal det bety?

Så husker vi fra Matriser at siste søyle i $(Ab)$ ikke er pivotsøyle bety at $A\vec{x}=\vec{b}$ har en løsning, om alle søyler er pivotsøyler: unik løsning.
Alltid har en løsning: alle rader er pivotrader. Og da siste søyle blir aldri pivotsøyle.

Baser og subspaces

dette er ikke helt trivielt.
gjør noen oppgaver:)

Viser linearitet

“vanskelig bevis?”
$\vec{F}$ av en base. Avbinldningsmatrise.

“som ikke er en pivotsøyle” . Flere søyler enn rader — alle søyler an ikke være pivotsøyler.
Søylene er ikke lineært uavhengige

da er $x_1\overrightarrow{a_1}\dots$

Rang 1 matriser

basen a ganget med ${\vec{b}}^T$

basis for søylerommet ($Col(A)$ )er bare en vektor (hver søyle i A er et multiplum av $\vec{a}$, basis for radrommet $Row(A)$
Rang 1-matriser er de enkleste vi kan tenke oss.
kommer litt tilbake til det.

Redusert trappeform er unik

Motsigelsesbevis. Se forelesningsnotat
De to må være radekvivalente, for begge er radekvivalent med utgangspunktet.
Dette gir at $C_1$ og $C_2$ har samme lineære avhengighetsrelasjoner mellom søylene sine.

Viser først at$C_1$ og $C_2$ har de samme posisjonene for pivotsøyler. Hvis ikke: (kontrapositivt)
Finnes en første indeks $k$ er pivotsøyle i $C_1$ men ikke i $C_2$ (derfor har den en lineær avhengighetsrelasjon melllom disse tidligere søylene ).

Apparently:
Kolonnerommet og radrommet har lik dimensjon: lik rang
Nullrommet er alt som ikke dekkes ?
$A$ er $m\times n$ matrise. ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$
$rank(A)=dim(d(A))=dim(Row(A))$
$rank(A)+dim(Null(A))=n$

rank(A) er maks $m$