Matriser

Hva er en matrise?
Komponent listes opp i to retninger, horisontalt, vertikalt.
Store bokstaver, komponenter i små
$a_{ij}$ $i$ = rad, $j=$ søyle

$A=\begin{array}{c}{a}_{11},a_{12},a_{13},\dots ,a_{1m}\\ a_{21},a_{22},a_{23},\dots ,a_{2m}\\ \dots \end{array}$

(n søyler nedover)

Alle rader har like mange komponenter, alle søyler har like mange koponenter
$A$ er kvadratisk når $m=n$

radvektor: et hosistonalt segment i $A$
søylevektor: vertikalt segment

Transponere matrise

$A^T$ er snudd, rad 1 blir søyle 1 osv

A.T transponerer A

Symmetrisk matrise: $A=A^T$

$a_{ij}$ blir da $a_{ji}$

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

$((A+B{)}^T{)}_{ij}=(A+B)ji$
og så videre til vi står komponentvis $a_{ij}+b_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

Egenskaper ved matrisemultiplikasjon

1. $(AB)C=A(BC)$ # men ikke endre på rekkefølgen!!!
2. $A(B+C)=AB+AC$ distributivitet
3. $(B+C)A=BA+CA$ også distributivitet
4. For alle skalarer $s$, $s(AB)=(sA)B=A(sB)$
5. A $m\times n$ så $A{I}_n=A$ og $I_{n}A=A$. $I_n$ er nøytralt element.

Matrisaddisjon

Definert komponentvis.
Hvis $A$ og $B$ begge er mxn, så definerer vi
$A+B=\begin{array}{c}{a}_{11}+b_{11},a_{12}+b_{12},\dots \\ a_{21}+b_{21},a_{22},b_{22},\dots \end{array}$
$A-B$ samme bare minus $a_{11}-b_{11}$
$tA$ matrise med komponenter $t{a}_{ij}$

Matrisemultiplikasjon

Matrise-vektor-multiplikasjon

hvis $A$ er mxn og $\vec{x}$ en søylebektor med n komponenter

$A\vec{x}=\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\end{array}$

Ved defisisjon av vektoraddisjon kan dette skrives:
summen av rad 1 ganget med skalar fra rad 1 av søylevektor
og så videre for alle radene.

kan også skrives komponentvis. (se forelesnignsnotat)

Likningssystem

$A\vec{x}=b$
A er koeffisientmartrisen. Bare om antall søyler i A = komponenter i b (og x)

Brukes til å utlede (?) matrise x matrise

Matrise-matrise-multiplikasjon

mekanisk:) Rad x søyle

Hvis $A$ er en $m\times n$ matrise, og $X$ er en $n\times k$ matrise, så er $AX$ $m\times k$ matrise.
Men, for at dette skal gå opp, må $n=n$ ALTSÅ MÅ matrise 2 ha like mange rader som matrise 1 har søyler.

Hvis $A$ har rader $a_1,a_2$
Hvis B har rader $b_1,b_2$

$AB=\begin{array}{c}{a}_1\ast b_1,a_1\ast b_2\\ a_2\ast b_1,a_2\ast b_2\end{array}$

Med python

a, alt gr, b (???) eget tegn som

A @ B

Ytre produkt

Kolonne ganget med rad gir matrise? Vi går fort forbi…
slipper å summere:)

evt a_ eller $x_{r:}$
søyle, r

$a\in {\mathbb{R}}^m,x\in {\mathbb{R}}^n$ er kolonnevektorer (men transponerer x slik at det blir en radvektor)
$a{x}^T=(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \dots \\ a_m\end{array})(\begin{array}{c}{x}_1{x}_2\dots x_n\end{array})=\begin{array}{c}{a}_1{x}_1,a_1{x}_2,\dots ,a_{1}xn\\ a_2{x}_1,a_2{x}_2,\dots a_2{x}_n\\ \dots ,\dots ,\dots ,\dots \\ a_m{x}_1,a_{m{x}_{2,\dots },a_m{x}_n}\end{array}$

Egenskaper ved matrisemultiplikasjon

1. $(AB)C=A(BC)$ # men ikke endre på rekkefølgen!!!
2. $A(B+C)=AB+AC$ distributivitet
3. $(B+C)A=BA+CA$ også distributivitet
4. For alle skalarer $s$, $s(AB)=(sA)B=A(sB)$
5. A $m\times n$ så $A{I}_n=A$ og $I_{n}A=A$. $I_n$ er nøytralt element.

Bevis for #1

se forelesningsnotat
Bruker summeformel (definisjonen av produktet $AB$) for matrisemultiplikasjon definert tidligere.
Gir sånn ca mening.
Gir mye mer mening utifra lineære transformasjoner…

Bevis for #5

$A{I}_n=A$

$(AIn)ij={\sum }_{r=1}^n{a}_{ir}(In)rj=aij(In)jj=aij$

Trekke ut delmatriser

trekke ut søyle j, trekke ut søyle i
$A\cdot {\vec{e}}_j$ eller ${\vec{e}}_i\cdot X$
der e har bare 0 bortsett fra komponent i=1 eller j=1.

Langt over det nivået som forventes at vi skal regne på.
Skrive matrisen som summen av sine søyler trenger ikke vi å drive på med.

Lineære transformasjoner og matrisemultiplikasjoner

$\vec{F}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$
egenskaper:
$F({\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2)=F({\vec{a}}_1)+F({\vec{a}}_2)$
$F(c\vec{a})=cF(\vec{a})$

F har matrise A. Hva er egenltig F? transformere koordinatsystemeet
Vi kan i hvertfall bevise at den fins? og at den er lineær

Matrisen til en vektorprojeksjon

projeksjonsmatrise $\vec{b}{\vec{b}}^T$
Utledes i forelesningsnotat

Finne matrise til avbildning (transformation?) med rotasjon vinkel

Trigonometri:)

$\hat{i}$ og $\hat{j}$
sett sammen de nye posisjonene til $e_1$ og $e_2$ som vanligvis har verdiene $e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ og $e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

Eks: speiling om $y=x$
$e_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ og $e_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$
lineær transformasjon blir da lik $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$
slik at vilkårlige punkt $(2,4)$ blir $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$

For rotasjon av akser med vinkel $\theta$
$e_1=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$ og $e_2=\left(\begin{array}{c}\cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)\\ \sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)\end{array}\right)$
så tranformasjonen $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \cos \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)\\ \sin \theta & \sin \left(\frac{\pi }{2}+\theta \right)\end{array}\right)$

Lage matriser i python

A=np.array([[1,2,3]])#radvektor
B=np.array([[1],[2],[3]])#søylevektor
 

Og obs Python indeksering starter fortsatt på 0
A[0,1] gir 2
B[1,0] gir også 2

3 x 4 matrisen $A$

A=np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12]])
m, n = np.shape(A) #3, 4
 
#KOLONNOTASJON
A[i, :] #radvektor
A[:,j] #søylevektor
 
 
#noter forskjell
print(A[1,:]) #skriver ut en vektor, uten noe referanse til matrise
print(A[[1],:]) #spytter ut en matrise [[5,6,7,8]]

Undermatrise i python

ix notasjon for gitte rader og gitte søyler, ny matrise, men den skal vi ikke bruke så mye.

Reshape

y.reshape((1,-1) tar en vektor og git en radvektor. -1 betyr regn ut automatisk hvo mange rader/søyler. 1 betyr 1 rad. (1,-1) gir da en søylevektor

Operasjoner ved både vektorer og MATRISER

np.max(A,axis=0) trekker ut maksverdien i hver søyle og returnerer en vektor.
np.min(A,axis=0 tilsvarende
sum: summerer søylevis og returnerer vektor
prod: ganger sammen alle tall i hver søyle, returnerer vektor

Vektoriserte funksjoner for vektorer er vektorisert for matriser også. Funkjsonen av alle komponentene:)
sqrt, abs, sin, log osv

np.maximum sammenligner komponentvis for to matriser. og returnerer en matrise. np.minimum gjør samme.

Multiplikasjon og potens i Python: ganger sammen komponentvis og returnerer matrise.
Skalarer
Plusse på skalar går helt fint komponentvis men ikke definer matematisk
Hvis a er en rad-vektor, kan den plusses med b søylevektor returnerer MATRISE

artige matriser

$0$ matrisen med bare nuller
$1$ matrisen med bare enere
$diag(A)$ matrisen med vektor a på diagonalen. Resten null?
$I_n$ identitetsmatrisen, n=m=det vu vil den skal være, 1 på diagonalen.

Diagonalmatriser er symmetriske:)

Hilbertmatrisen

$i_{kl}=\frac{1}{(k+l-1)}$

kode: med reshape og transponering.

Vandermondematrisen

Fouriertranformasjonen

ER MEGET KUL men ikke pensum.

Matriseaddisjon

plotte polynomer

m=100
x=np.linspace(0,1,m).reshape((-1,1)
plt.plot(x, x)
plt.plot(x, x**2)
plt.plot(x, x**3)
plt.legend(['q_1','q_2','q_3'])
plt.show()
 
#Eller
plt.plot(x, x, x, x**2, x, x**3)
 
 

Vandermonde pluss polynomer som søyler med koeffisitenten til nye polynomet.

np.block setter sammen som søyler.
plt.plot(x, Y) der Y er matrise.

Blokkmatriser

“egentlig mindre viktige ting”
Sette sammen flere matriser til en størrematrise.
De som har tid og lyst kan lese gjennom det stoffet, ikke så veldig eksamensrelevant.

GAUSSELIMINASJON