Kap 1 - Vektorer

OVERSIKT MAT 1105

Vektorer (Nå begynner vi faktisk)

Bok

generelt

En vektor: samling av tall (komponenter) listet i en gitt rekkefølge. (I kompendiet er de i fet skrift)S
Små bosktaver, pil
$\vec{a}$
komponenter: små bokstaver $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ er komponenter i $\vec{a}$

Vektorer med reele komponenetr = R n
Vektoere med n komplekse komponenter. C n, mengedn av komplekse komponenter (mat 1100 uke 3 ca, kommer her litt før)

nullvektoren: $\vec{0}$

 
import numpy as np
a = np.array([2,4,6,8,10])
 
b = np.linspace(0,1,6) #6 tall fra [0,1]
 
c = np.arrange(1,7) # alle heltall fra 1 til 7. Tallet 7 er da ikke med (python:)
 
d = np.arrange(1,7,2) #hopper med 2

Indeksering

a[0:6] # 6 første elementer
a[0:6:2] # 6 første, men annethvert element
a[3:] # fra indeks 3 og oppover
a[-1] # bakerste tall
 
 

Operasjoner

np.max(a) #høyeste komponent
np.min(a) #laveste komponent
np.sum(a) #summen av komponentene
np.prod(a) # produktet av alle komponentene 

Vektoraddisjon + gange med skalar

• $\vec{\mathbf{a}}+\vec{\mathbf{b}}=(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)$
• $\vec{\mathbf{a}}-\vec{\mathbf{b}}=(a_1-b_1,a_2-b_2,...,a_n-b_n)$
• $t\vec{a}=(t{a}_1,t\ast a_2,...,t\ast a_n)$ når $t$ er en skalar

Komponentvis som i R1, R2 og etter hva all fornuft tilsier. Bare at $a,b,t$ kan også være relle eller komplekse tall

a-b #vektor a minus b
t*a # vekotr a ganget med skalar t
a+t # legger til t i hver eneste komponent. 
 

Vektorisering av funksjoner

VEKTORISERINGEN AV EN FUKSJON: en funksjon av en vektor blir funksjonen av hver av komponentene satt sammen i en ny vektor.

$f(a_1,a_2,a_3...a_n)=(f(a_1),f(a_2),f(a_3)...f(a_n))$

np.sqrt(np.array([1,4,9])) # gir array([1.,2.,3.])

(Obs: python regner ikke alltid eksakt. sin ( a)

np.sin(np.array([0,np.pi/2,np.pi,3*np.pi/2,2*np.pi]))

array([ 0.0000000e+00,  1.0000000e+00,  1.2246468e-16, -1.0000000e+00,
       -2.4492936e-16])

np.minimum og np.maximum er også vektorisert - beregenes steg for steg. Samme gjelder $a\ast b$ og $a\ast \ast b$ selv om det ikke er slik matematisk.

Addisjon og sånt.

Rekkefølge har ikke noe og si når man adderer.
Også to bevis.

Bevis for 4., komponentvis
VS: komponent i er $(s+t)\overrightarrow{a_i}$
HS: komponent i i $s\vec{a}$ er $s{a}_i$
komponent i i $t\vec{a}$ er $t{a}_i$
$(s+t)\overrightarrow{a_i}$ er det samme som $s{a}_i+t{a}_i$, det er ene egenskap ved de reelle tallene.

Linje gjennom to punkter

To “punkter”: $\overrightarrow{x_1}$ og $\overrightarrow{x_2}$ har retningsvektor $\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_1}$
Linjen parametriseres ved $\overrightarrow{y(t)}=\overrightarrow{x_1}+t(\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_1})$

Lengder og skalarprodukt

Legger til flere tall under kvadratrot. (lengde)
Skalarprodukt: $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3....a_n{b}_n$

$\vec{a}$ og $\vec{b}$ er ortogonale hvis $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$

np.linalg.norm(a)
##eller
np.sqrt(np.sum(np.abs(a)))
 

Egenskaper ved skalarproduktet ($\mathbb{R}$)

For all vectors $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ in ℝ 𝑛, and scalars 𝑠, we have that

1. $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$
2. 𝐚 ⋅𝐛 =𝐛 ⋅𝐚,
3. 𝐜 ⋅(𝐚 +𝐛) =𝐜 ⋅𝐚 +𝐜 ⋅𝐛 and (𝐚 +𝐛) ⋅𝐜 =𝐚 ⋅𝐜 +𝐛 ⋅𝐜,
4. (𝑠⁢𝐚) ⋅𝐛 =𝐚 ⋅(𝑠⁢𝐛) =𝑠⁢(𝐚 ⋅𝐛)

For komplekse tall

Det blir mer komplisert hahah.

Lengden til vektor: Setter inn absoluttverditegn fordi vi vil at lengden skal være en positiv størrelse.
|𝐚|=√|𝑎1|2+|𝑎2|2+⋯+|𝑎𝑛|2,

𝐚⋅𝐚=|𝐚|2=𝑎1⁢――𝑎1+⋯+𝑎𝑛⁢―――𝑎𝑛.
It is clear that Equation 1.2 will not work for the complex case, as this will not capture the conjugation here.
Let us instead define𝐚⋅𝐛=𝑎1⁢――𝑏1+⋯+𝑎𝑛⁢――𝑏𝑛,

a1 x a1 konjugert = $\vec{a}\cdot \vec{a}konjugert=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2$ (konjugasjon blir viktig!)
Komplekse tall har en realdel (x-akse) og en imaginær del (y).

Kom tilbake til dette etter konjugasjon i MAT1100. Konjugasjon = speile ting om x-aksen.
Et podukt konjugert er produktet av de konjugerte.

j er imaginer komponent i python

a = np.array([2j,1+1j,3])
b = np.array([1+2j,-1,2-1j]) 

(9-4j). Ikke det samme vi fikk i eksempelet. Python kommer

np.sum(np.conj(a)*b)

Fysikere og matematikere er uenige

Finne uttrykk for plan

Punkt + normalvektorl
Punktet ligger i planet om differansen mellom puntket og (generellt) punkt i plan er ortogonalt med normalvektoren.

$0=((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0))\cdot (a,b,c))$
Kan skrives $ax+by+cz=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$
HS er en konstant:)

Generalisering av Pythagoras

Hvis $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er ortogonale så er:
$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ = skalarprodiktet av a + b med seg selv. Ganges ut. Blir null for a x b, også 0 konjugert for b x a. $\overline{0}=0$

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|+\vec{b}{|}^2$
PYTAGORAS, bare generelt for vektorer i alle n

Neste tema: Matriser

Projeksjoner

(eksamensrelevant for midtveiseksamen.(midtveis MAT1105 H25: 1-2
prøvemidt. MAT1105 H25: 1-2))

“I mitt kompendium er det litt flytende hva som er et punkt og hva som er en vektor”

Minner om R2 punkt til linje. Projeksjon av a på linjen gjennom b. Normalvektor fra b til a.

$\vec{p}=c\cdot \vec{b}$ (Parallelle. ) Ortogonal på $\vec{a}-c\cdot \vec{b}$
|b|^2 ?

(regneeksempel. OK)

så begynner vi med vinkler:)

$\theta$ er vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$
projeksjonen av a på b blir hosliggende katet. a er hypotenus. cos $\theta$ = jhos/hyp

også forenkles og forkortes uttrykk for projektsjonen
Følger at: $|\vec{a}\cdot \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$

Også beviser/utleder vi at cosinus er rasistisk.

Schwarz-ulikheten

Bevis
$|\vec{a}\cdot \vec{b}|<=|\overrightarrow{a]}||\vec{b}|$
Setter inn pytagoras. $|\vec{a}{|}^2=pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}$ = proja a på b

Se forelesningsnotat. Greit bevis.
Når får man likhet?
hvis og bare hvis a=proj a på b $a=pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}$

Trekantulikheten

Korteste avstand til et punkt er en rett linje. Høres ganske åpenbart ut. Bevis i forelesnignsnotat.

Annet bevis i en kalkulus forelesning en gang.
Vi har i hvertfall at $|a+b|\le |a|+|b|$
(gjelder også for vektorer

DETTE ER VIKTIG!!