funksjoner

Funksjonen $f:A\to B$ betyr at $A$ og $B$ er medger (typisk $A\subseteq \mathbb{R}$, $B\subseteq \mathbb{R}$)
$f$ er en regel som til hvert element $x\in A$
tilordner et entydig bestemt element i $B$, skrevet $f(x)$

“hvis jeg krever at dere leser dere opp på pensum så i praksis skjer ikke det”

$y^2+x^2=1,x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}$ er ikke en funksjon — gir to y-verdier
Om vi velger positiv rot, ($y\ge 0)$) så kanvi definere funksjon

$y=\sqrt{1-x^2}$ er et “funksjonsuttrykk”

Verdiområde: rektangel over/under x-aksen som er definert df

$D_f=\{x\in \mathbb{R}:\}$ (definisjonsmengde)
$x^2+y^2\iff y^2=1-x^2$ krever $1-x{\ge }_0\iff x\in [-1,1]$

$G_f=\{(x,f(x)):x\in D_f\}$
$V_f=\{f(x):x\in [-1,1]\}=\{y\in \mathbb{R}$ slik at det eksisterer $x\in [-1,1]:y=f(x)=[0,1]\}$ (verdimengde)

Flere eksempler på definisjonsmengder og verdimengder.

for rotfunksjonen;
krever at det man tar en rot av er positiv, og den roten vi velger å bruke er alltid positiv.
for hver $x\in {\mathbb{R}}_{+}$finnes en og bare en $y\in {\mathbb{R}}_{+}$
“kvadratrøtter er definert fra positive tall til positive tall har jeg lyst å konkludere”
men for odde n kan man løse det for alle reelle tall, osv

Dette fenomenet vil vi diskutere mer generelt.

Bijeksjon

$f:A\to B$
f er bijektiv (en bijeksjon) dersom det for hver $y\in B$ finnes det en og bare en verdi $x\in A$ slik at $f(x)=y$
(motsatt av for hver x så er det en og bare en y-verdi)
Da har vi en regel som for hver $y\in B$ som bestemmer en entydig $x\in A$ altså en funskjon $g:B\to A$slik at
$f(g(y))=y$
$f(x)=y⟹x=g(y)$ SKAL bare være en y som gir regelen.

$f(x)=y\iff x=g(y)$

Rotfunkjsonen: $n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ $f(x)=x^n$ så er $f$ bijektiv fra ${\mathbb{R}}_{+}$ til ${\mathbb{R}}_{+}$ med invers $f^{-1}$ $f^{-1}(y){=}^n\sqrt{y}$

men vi tar egentlig for gitt at $x^n=y\iff x{=}^n\sqrt{y}$ for $x\ge 0$ og $y\ge 0$
Bijektiv dersom er je

---

Surjektivitet: for $f:A\to B,V_f=B$
Injektivitet: $f(x)=f(x^{\prime })⟹x=x^{\prime }$ (altså har en invers) entydig

Komposisjon av funksjoner:
$gof$ fra $A_f$ til $B_g$ (?)

Når $f:A\to B$ er bijektiv med invers $f^{-1}:(fo{f}^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=y=i{d}_{B}y$
Skjæringssetningen?

Plangeometri:) (unnskyldning til å minne om trigonometrisk efunksjoner)

“oppfriskning av det jeg trenger fra trogonimertiske funskjoner”
Vi omtaler planet som ${\mathbb{R}}_{2}2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\{(x,y):x\in Rogy\in \mathbb{R}\}$
Kartesistke koordinater i element. (som betyr hva da)