Komplekse røtter

Kvadratrøtter på polarform

la $z\in \mathbb{C},z\ne 0,z=r{e}^{i\theta }$
KOmplekse tall

vi skriver $w^2=r{e}^{i\theta }$
og at $w=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$
da blir $w^2=r^{\prime 2}\ast e^{i\ast 2\theta }$ mellomregning $(r^{\prime }{e}^{i\theta }{)}^2=r^{\prime 2}\ast (e^{i\theta }{)}^2=r^{\prime }2\ast e^{i\ast 2\theta }$

$w=\pm \sqrt{r}\ast e^{i(\theta /2)}$

husk at $-1=e^{i\pi }$ og $i=e^{i(\pi /2)}$

Roten av et negativt tall

la $z\in \mathbb{R}$
for $z<0$

Dersom diskrimimnanten $\Delta <0$
$(i-\sqrt{-\Delta }{)}^2=i^2(-\Delta )=\Delta$

Derav har en likning to komplekse løsninger dersom diskrimintanten er negativ.

Og roten av et negativt tall er da:
$z<0$
$\sqrt{z}=i\sqrt{-z}\vee \sqrt{z}=-i\sqrt{-z}$

Som gir to rene imaginære tall, der den ene er den andre $\ast -1$, altså konjugert (speilet om x-akse)

For komplekse tall bruk polarform og kompleks rot.

N-te-røtter

N-te-roten av et komplekst tall: rotasjon rundt enhetssirkelen, det finnes n n-te-røtter.
Den prinsipiale n-te roten er gitt ved:
$w_1=\sqrt[n]{r{e}^{i\theta }}=\sqrt[n]{r}{e}^{i\theta /n}$

$w_{+}=e^{i2\pi /n}$

resterende røtter finnes ved å multiplisere $w_2=w_1\cdot w_{+}$, $w_3=w_2\cdot w_{+}$ osv.

Bevis for dette:
(forelesningsnotater)

Komplekse røtter til polynom

her Algebraens fundamentalteorem