Algebraens fundamentalteorem

I går skjedde to ting: PISA (ferdigheter så dårlige at det blir et problem for høyere utdanning) og OpenAI nytt bevis. (Og dere befinner dere et sted midt i mellom de to. Ha selvdisiplin.)
Ikke kongens begravelse.
“gjøre neste dag så givende så mulig”

Og så begynner vi.
Algebraens fundamentalteorem
Faktorisering har nå blitt til røtter?
FUllstendig bevis er ikke pensum.

Komplekse polynomer av grad n har n røtter.
“selv om man kaller dette algebraens fundeemntalteroem, så bruker men alltid en del analyse for å bevise det” Vi har ikke foreløpig verktøy for å vise dette.

$P(r)=0\iff$ polynomdivisjonen av $P(z)$ med $z-r$ går opp!
Altså at $P(z)=(z-r)Q(z)$hvor $Q$ er polynom av grad $n-1$
“hvorvidt man tillater nedadgående induksjon”7

• induksjon for eksistens av faktorisering … hva betyr det
• entydighet av faktorisering: ALGEBRA. (“mye interessant algebra som ikke er pensum her” (grupper ringer kropper kurset)) entydig bestemt multiplisitet

Anvendelse på reelle polynom

Anta at $P$ har den reelle koeffissienten $c_k=\mathbb{R}$
“tren hjernene deres til å se skjønnhet i håndskrift”
“øye-hånd-koordinasjon. mye som skjer i hjernen, bra”
creds til Daniel for denne videoen(det kunne vært verre)

• Da har vi at hver gang $r$ er en rot med multiplisitet $l$ er $\bar{r}$ også en rot med multiplisitet $l$
• P kan faktoriseres. på formen $P(z)=c_n(z-r_1)\dots (z-r_k)Q_1\dots Q_n$
  -der $r_1\dots r_k$ er reelle tall
  $Q_1\dots Q_n$ er reele andregrasdpolynom med $\Delta <0$

Bevis for a) multiplisitet: Anta at r er en rot

Konjugere et helt polynom.

1. prinsipp: konjugerte av sum er summen av konjugerte
2. konjugert av produkt er produkt av konjugert

$\bar{w}=\overline{c_n{r}^n}+\overline{c_{n-1}{r}^{n-1}}\cdots +$
også splitt opp produktene
(konjugert av en potens (kan vises ved induksjonsbevis) er potensen av de konjugerte=

Viser at $\bar{r}$ er rot til polynomet $P$
fordi alle koeffisientene er reelle. $P(\bar{r})=0$

Og (bonus info): Konjugert til noe v et summe tegn er også summen av de konjugerte. Kan også vises v/induksjon

en rot er en faktor apparently. eller bare ikke en kvadratrot/nterot.

Bevis for b:
Skikkelig skikkelig fint! Se forelesningsnotater

Anta at $r$ er rot
Utføre polynomdivisjon av $P(z)$ med $Q(z)=(z-r)(z-\bar{r})$

Okei ikke så fint lenger. Hva er S
Viser egentlig bare at polynomdivisjonen går an?
Prinsipp: S er et polynom av grad høyst N med minst N+1 røtter er S=0. (selvmotsligelse om det er noe annet —> algebraens fundamentalteorem. ) “den kan man meditere litt over” (lineær uttrykk med to røtter (løsnigner) gir at uttrykket må være null)

Så har vi at $P(z)=T(z)Q(z)$, også kan vi fortsette med $T(z)$ nedadgående

Oblig

Legges ut i ettermiddag (10. sept)
En liten obligatorisk del som skal leveres i canvas.
Mulighet til å levere egne oppgaver.
Kommer til å legge ut pensum. Integrasjon, skal behandles uken før (i teorien) bliri da ikke pensum f. eks