KOmplekse tall

“hva er motivasjonen for å utvide tallsystemene?” ($\mathbb{Z}$ - å kunne subtrahere, $\mathbb{Q}$: å kunne dividere, $\mathbb{R}$ å kunne ta røtter)

Løse annengradslikning $\Delta <0$ har ingen løsning?

“innføre imaginær løsning. Ordet imaginær, men vi gjør det konkret”
Vi vil innføre et tall $i$ slik at $i^2=i,i=-1$ da er også $(-i{)}^2=(-1{)}^2{i}^2=-1$ (men $-i^2=1$)
Komplekse tall er nyttig for å beskrive svingninger, og essensielt i kvantemekanikk :) “merkelig nok (om man tenker at fysikken skal være konkret)”

Vi antar at vi har et tallsystem hvor

• reelle tall er med
• $i$ er med, $i^2=-1$
• vi kan regen på en vanlig måte med tall på formen $a+ib$ hvor $a,b\in \mathbb{R}$

Vi “vil” at vanlige regneregler skal gjelde. Kommutativitet (dele opp ting), assosiativitet (flytte parenteser), distributivitet (av multiplikasjon)
$a,b,c,d\in \mathbb{R}$
$(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i$

“det som er mer magisk er multiplikasjon”
$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=ac-bd+(ad+bc)i$

“så egentlig har jeg en ny måte å representere punkter i planet på”

Euklidsk plan: ${\mathbb{R}}^2$ $P\in {\mathbb{R}}^{2}P=(a,b)$
Komplekse tall: $\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in \mathbb{R}\}$
“til en viss grad” forandring av notasjon. Tegner opp akser. (legger sammen vektorer i planet, tegner opp litt forskjellige tall.)
“men vi tillater oss å multiplisere to vektorer”
Innfører formel for å multiplisere vektorer i planet, men i stedet for å snakke om det så sier vi at vi multipliserer to komplekse tall

Vi bruker formelen som definisjon av multiplikasjon. Vi sjekker at vanlige regneregler gjelder (så kan vi slippe å sjekke alle de andre tingene som gjelder når vanlige regneregler gjelder)

• addisjon: skal være assosiativ, ha nøytralt element, være kommutativt (rekkefølge), finnes motsatt tall slik at summen er 0 (definere minus). “ganske mange sånne ting”
• multiplikasjon
• distributivitet (multiplikasjon og addisjon må funke sammen) $z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}$ $z_1(z_{20}{z}_3=z_1{z}_2+z_1{z}_3)$

Nå antok vi at det siste gjelder…
også slal vi sjekke
$(z_{10}{z}_2)+z_3=?=z_1+(z_2+z_3)$
$z_1=a_1+b_{1}i,x_2=a_2+b_{2}i,z_3=a_3+b_{3}i$
$a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3\in \mathbb{R}$

skriv alt ut, bruker definisjon 2 ganger (se tavlebilde)

bruker assosiativitet av addisjon for reelle tall for å bevise at assosiativitet gjelder for komplekse tall.
“må være litt nøye på definisjonene”

Modulus til $z$ er $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (utvidelse av absoluttverdi til de komplekse tallene)
$|z{|}^2=z\ast \bar{z}$

Konjugering: Vi definerer konjugering: speiling om aksen

Invers: Utled…
$\frac{1}{z}$, gang ut med zkonjugert, $\frac{a-bi}{a^2+b^2}$

15 min hull

$\mathrm{Re}(z)=\frac{1}{2}\ast (z+\bar{z})$

Trekantulikheten

$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$
enkelt visuelt

greit på tavlen også når alt ble rettet til slutt.

Komplekse tall runde 2!

Repetisjon:
$z=a+bi,a,b\in \mathbb{R}$
$a=\mathrm{Re}(z)$
$b=\mathrm{Im}(z)$
Modulus/absoluttverdi: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
$\bar{z}=a-bi$

Også har vi noen egenskaper som vi viste tidligere.
Antar at vi kan regne med komplekse tall som med reelle tall
“bør sjekke at alle regnereglene gjelder, men det er et ganske møysommelig arbeid”

Bør bevises. Måten man beviser: sett inn notasjon (utifra definisjon) og skriv ut hva det tilsvarer. “Knotete. Noen synes det er gørr kjedelig, jeg synes det er kjempegøy. Ikke hold det imot meg.”

POLARFORM

Begynner med enhetssirkelen. punkter på enhetssirkel: $(\cos \theta ,\sin \theta )$ med $\theta \in \mathbb{R}$ (vi kan gå mange runder på enhetssirkelen, og i negativ retning)
Bestemt opp til et tall $2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ “ok dette tar jeg for gitt”
(IDENTITETER trigonometrisk!)

KOMPLEKS NOTASJON $U=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$
for $z\in U$ finnes det $\theta \in \mathbb{R}$ slik at $z=\cos \theta +(\sin \theta )i$
bestemt mod $2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Generelt kan vi skrive $z=r(\cos \theta +(\sin \theta )i)$ med $r\ge 0,\theta \in \mathbb{R}$ men hva skjer når $r=0$???
$|z|=r$ (tall på enhetssirkelen, ligger i kortene at dette har modulus 1)

Anta $z\ne =0$
$|\frac{z}{|z|}|=1$

“Det som er litt magisk:” Multiplikasjon blir enklere.

Invers

$(e^{i\theta }{)}^{-1}=e^{-i\theta }$
fordi $e^{i\theta }{e}^{-i\theta }=e^{i(\theta -\theta )}=e^{i0}=1$
(og 1 er nøytralt element for multiplikasjon)

Kartesisk: $\frac{1}{z}$ som utvides til $\frac{\bar{z}}{|z^2|}$ (utvide med $\bar{z}$)

Multiplikasjon av komplekse tall i polarform

$r_1{e}^{i{\theta }_1}\ast r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1\ast r_2\ast e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

$r$ er modulusen, $\theta$ er argument. 3blue1brown!!!!

Eneste man trenger for å multiplisere:)

Videre: Komplekse røtter