Midtveis MAT1100 - øvingssett

MAT1100 — øvingssett til midtveis

Om settet

Samme format som midtveiseksamen: 18 flervalgsoppgaver, 2 timer, bare formelsamling. Det er nøyaktig ett riktig alternativ per oppgave, og du trekkes ikke for feil svar.
Oppgavetypene følger midtveis 2024 og 2025 og prøvemidtveis 2025, men er gjort litt vanskeligere. Oppgave 13–15 dekker middelverdisetningen, Newtons metode og fundamentalteoremet, som er på årets plan.

Fasit: Midtveis MAT1100 - fasit

---

Oppgave 1. Summen $\sum _{k=1}^{99}\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)$ er lik:

A) $\ln 99$
B) $2\ln 10$
C) $99\ln 2$
D) $\ln (100!)$
E) $1$

Oppgave 2. Det komplekse tallet $(1-i{)}^{10}$ er lik:

A) $32$
B) $-32$
C) $32i$
D) $-32i$
E) $32(1-i)$

Oppgave 3. Hvilket komplekst tall er en fjerderot av $z=-8+8\sqrt{3}i$?

A) $w=1+i\sqrt{3}$
B) $w=\sqrt{3}-i$
C) $w=-1+i\sqrt{3}$
D) $w=2i$
E) $w=4e^{i\pi /6}$

Oppgave 4. Hvilket utsagn er sant?

A) Et reelt fjerdegradspolynom har alltid minst én reell rot
B) Hvis $z$ er en rot i et komplekst polynom, er også $\bar{z}$ en rot
C) Likningen $z\bar{z}=-4$ har nøyaktig to komplekse løsninger
D) Polynomet $z^4+1$ kan ikke skrives som et produkt av to reelle andregradspolynomer
E) Et reelt femtegradspolynom har alltid minst én reell rot

Oppgave 5. La $M\subseteq \mathbb{C}$ være mengden av komplekse tall $z$ som oppfyller $|z-2|=|z+2i|$. Tolket i det komplekse planet er $M$:

A) En sirkel med sentrum i $1-i$
B) Linja $y=-x$
C) Linja $y=x$
D) Den reelle aksen
E) Området utenfor en sirkel

Oppgave 6. Grensen $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^{n+2}+(-2{)}^n{n}^5}{3^n-5\cdot 2^n}$ er:

A) $0$
B) $3$
C) $-1/5$
D) Grensen eksisterer ikke
E) $9$

Oppgave 7. La følgen $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ være gitt ved
$a_n=\frac{4n+3}{2n+1}.$
Hvilket utsagn er sant?

A) For alle $ϵ>0$ gjelder at hvis $n>1/(2ϵ)$, så er $|a_n-2|<ϵ$
B) For alle $ϵ>0$ gjelder at hvis $n>ϵ/2$, så er $|a_n-2|<ϵ$
C) For alle $ϵ>0$ fins $N\in \mathbb{N}$ slik at hvis $n\ge N$, så er $|a_n-2|>ϵ$
D) Det fins $ϵ>0$ slik at $|a_n-2|\ge ϵ$ for alle $n$
E) For alle $ϵ>0$ gjelder at hvis $n>1/(4ϵ)$, så er $|a_n-2|<ϵ$

Oppgave 8. Grensen $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1-2x}{x\sin 3x}$ er:

A) $0$
B) $2/3$
C) $4/3$
D) $2$
E) $+\infty$

Oppgave 9. Hvilken linje er en asymptote for funksjonen $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ gitt ved $f(x)=\ln (e^{2x}+e^x)$?

A) $y=0$
B) $y=2x+1$
C) $y=2x+\ln 2$
D) $y=x$
E) $y=x+\ln 2$

Oppgave 10. Grensen $\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{1/x^2}$ er:

A) $0$
B) $1$
C) $e^{-1/2}$
D) $e^{-1}$
E) $+\infty$

Oppgave 11. La $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ være gitt ved $f(x)=x^3+x+e^x$. Funksjonen er strengt voksende og har derfor en invers $f^{-1}$. Hva er $(f^{-1}{)}^{\prime }(1)$?

A) $1/2$
B) $2$
C) $\frac{1}{4+e}$
D) $1$
E) $1/3$

Oppgave 12. La følgen $\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ være gitt ved $a_1=1$ og $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$ for alle $n\ge 1$. Hvilket utsagn er sant?

A) Følgen divergerer
B) Følgen er strengt avtakende
C) Følgen konvergerer mot $3$
D) Følgen konvergerer mot $-2$
E) Følgen konvergerer mot $6$

Oppgave 13. La $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ være en deriverbar funksjon med $f(0)=1$ og $f^{\prime }(x)\le 3$ for alle $x\in \mathbb{R}$. Hva er den største verdien $f(4)$ kan ha?

A) $4$
B) $7$
C) $12$
D) $13$
E) $f(4)$ kan være vilkårlig stor

Oppgave 14. Vi bruker Newtons metode på $f(x)=x^2-2$ med startverdi $x_0=1$. Hva er $x_2$?

A) $3/2$
B) $17/12$
C) $7/5$
D) $577/408$
E) $\sqrt{2}$

Oppgave 15. La $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ være gitt ved
$F(x)={\int }_0^{x^2}{e}^{-t^2}dt.$
Hva er $F^{\prime }(1)$?

A) $0$
B) $1/e$
C) $2e$
D) $1/e-1$
E) $2/e$

Oppgave 16. En stige som er 5 meter lang, står lent mot en loddrett vegg. Foten av stigen trekkes bort fra veggen med fart 0,6 m/s. La $\theta$ være vinkelen mellom stigen og bakken. Hvor fort endrer $\theta$ seg i det øyeblikket foten er 3 meter fra veggen?

A) $\theta$ avtar med 0,15 rad/s
B) $\theta$ avtar med 0,12 rad/s
C) $\theta$ avtar med 0,20 rad/s
D) $\theta$ øker med 0,15 rad/s
E) $\theta$ avtar med 0,45 rad/s

Oppgave 17. La $a$ være en reell konstant, og la $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ være gitt ved $f(x)=(x^2+a)e^x$. For hvilke verdier av $a$ er $f$ konveks på hele $\mathbb{R}$?

A) $a\ge 0$
B) $a\ge 2$
C) $a\le 2$
D) $a\ge -2$
E) Ingen verdier av $a$

Oppgave 18. Hvilket utsagn er en korrekt definisjon av at en funksjon $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ oppfyller $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$?

A) For alle $A\in \mathbb{R}$ fins $\delta >0$ slik at $0<|x-2|<\delta$ medfører $f(x)<A$
B) For alle $\delta >0$ fins $A\in \mathbb{R}$ slik at $2-\delta <x<2$ medfører $f(x)<A$
C) Det fins $A\in \mathbb{R}$ og $\delta >0$ slik at $2-\delta <x<2$ medfører $f(x)<A$
D) For alle $A\in \mathbb{R}$ fins $\delta >0$ slik at $2-\delta <x<2$ medfører $f(x)<A$
E) For alle $A\in \mathbb{R}$ fins $\delta >0$ slik at $2<x<2+\delta$ medfører $f(x)<A$

---

Slutt. Lykke til!