Midtveis MAT1100 - fasit

Fasit: Midtveis MAT1100 - øvingssett

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
B	D	C	E	B	E	A	B	D	C	A	C	D	B	E	A	B	D

1. B. $\ln (1+\frac{1}{k})=\ln (k+1)-\ln k$, så summen teleskoperer til $\ln 100-\ln 1=2\ln 10$.

2. D. $1-i=\sqrt{2}{e}^{-i\pi /4}$, så $(1-i{)}^{10}=32e^{-i5\pi /2}=32e^{-i\pi /2}=-32i$.

3. C. $z=16e^{i2\pi /3}$, så fjerderøttene er $2e^{i(\pi /6+k\pi /2)}$. Med $k=1$ får du $2e^{i2\pi /3}=-1+i\sqrt{3}$. (A og B er fjerderøtter av $\bar{z}$.)

4. E. Et reelt polynom av odde grad går mot $\pm \infty$ i hver sin ende, så skjæringssetningen gir en reell rot. A: $x^4+1$. B: gjelder bare reelle koeffisienter. C: $z\bar{z}=|z{|}^2\ge 0$. D: $z^4+1=(z^2+\sqrt{2}z+1)(z^2-\sqrt{2}z+1)$.

5. B. Punktene som ligger like langt fra $2$ og $-2i$, er midtnormalen. $(x-2{)}^2+y^2=x^2+(y+2{)}^2$ gir $y=-x$.

6. E. Del på $3^n$: telleren går mot $9$ (fordi $(2/3{)}^n{n}^5\to 0$) og nevneren mot $1$.

7. A. $|a_n-2|=\frac{1}{2n+1}$. Hvis $n>\frac{1}{2ϵ}$, er $2n+1>\frac{1}{ϵ}$. E svikter for små $ϵ$ (f.eks. $ϵ=0,01$, $n=26$).

8. B. L’Hôpital to ganger, eller Taylor: telleren er $\approx 2x^2$ og nevneren $\approx 3x^2$.

9. D. Når $x\to -\infty$: $f(x)=x+\ln (e^x+1)$, og siste ledd går mot $0$. Når $x\to +\infty$ er asymptoten $y=2x$, som ikke er et alternativ.

10. C. $\ln$ av uttrykket er $\frac{\ln \cos x}{x^2}$. L’Hôpital gir $\frac{-\tan x}{2x}\to -\frac{1}{2}$.

11. A. $f(0)=1$, så $(f^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}$. $f^{\prime }(x)=3x^2+1+e^x$ gir $f^{\prime }(0)=2$. (C er $1/f^{\prime }(1)$.)

12. C. Følgen er voksende og oppad begrenset av $3$ (induksjon), så den konvergerer. Grensen oppfyller $L=\sqrt{6+L}$, altså $L=3$ eller $L=-2$, og $L\ge 1$.

13. D. Middelverdisetningen: $f(4)-f(0)=4f^{\prime }(c)\le 12$, så $f(4)\le 13$. Verdien nås av $f(x)=1+3x$.

14. B. $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$ gir $x_1=\frac{3}{2}$ og $x_2=\frac{3}{2}-\frac{1/4}{3}=\frac{17}{12}$. (D er $x_3$.)

15. E. Fundamentalteoremet og kjerneregelen: $F^{\prime }(x)=e^{-x^4}\cdot 2x$, så $F^{\prime }(1)=2/e$.

16. A. $\cos \theta =x/5$ gir $-\sin \theta \cdot {\theta }^{\prime }=x^{\prime }/5$. Når $x=3$ er $\sin \theta =4/5$, så ${\theta }^{\prime }=-\frac{0,6}{5\cdot 4/5}=-0,15$.

17. B. $f^{\prime \prime }(x)=(x^2+4x+2+a)e^x$. Den er $\ge 0$ for alle $x$ når diskriminanten $16-4(2+a)\le 0$, altså $a\ge 2$.

18. D. «For alle $A$ fins $\delta$», og bare $x$ til venstre for $2$. A er den tosidige grensen, E er grensen fra høyre.