Rolles teorem og korrolarer og konvekse funksjoenr

hører til Derivasjon

Rolles teorem

om a er maksimum, så er høyrederivert negativ, venstrederivert positiv og så videre. vi kan gjøre samme ressonnement (som gjort tidligere)

La $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ vøre kontinuerlig og anta at $f$ er deriver på $(a,b)$ og $f(a)=f(b)$

Da finnes $c\in (a,b)$ slik at $f^{\prime }(c)=0$
om $f(c)<f(a)$ finnes et minimumspunkt, tilsvarende maksimum.
a og b er ikke minimumsverdier, derfor må $c\in (a,b)$, derfor er $f$ deriverbar i $c$ og $f^{\prime }(c)=0$
Jeg er ikke sikker på at jeg har både minimum og maksimum, men jeg må ha en av delene (når funksjonen ikke er konstant.) (Når funksjonen er konstant er deriverte i alle punkter 0)

Korrolar

Vi fjerner hypotesen $f(a)=f(b)$
det finnes $c\in (a,b)$ slik at $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Stigningstallet til linjen fra $f(a)$ til $f(b)$

$y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)=L(x)$

“tangenten til kurven skal være parallell med linja”

“introdusete en funkjson det er naturlig å sammenligne med. så anvendte rolles teorem på ny funksjon g”

Korrolar

Hvis $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ er kontinuerlig på det $[a,b]$
Og deriverbar med derivert $0$ på $(a,b)$.$f^{\prime }=0$ Da er $f$ konstant

“vi vet at funksjoner som er konstante har derivert null. men er de det eneste? det er det korrolarer sier”
“teknikken består i å si at alle funksjonsverdier er like”

Bevis: la $x_0$ og $x_1$ med $a\le x_0\le x_1\le b$
Da kan vi finn e$c\in (x_0,x_1)$ slik at $f^{\prime }(c)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$
“anvender det andre korrolaret her på $x_0$ til $x_1$”

men $f^{\prime }(c)$ var jolik null. dermed $f(x_1)=f(x_0)$

Korrolar (enda et)

La $f$ og $g$ være kontinuerlige på $[a,b]$ og $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ for $x\in (a,b)$
“hva betyr det? de har samme derivert. dere har vært innom det før, med integrasjonskonstant”

da er $(f-g{)}^{\prime }=0$ altså er $f-g$ en konstant.

“andre veien er jo grei, om $f=g+c$ så kan du derivere begge sider, også forsvinner konstanten”

Enda et korrolar

“en funksjon, hvis den har et mimimum i et punkt, så kan den godt ha et minimum i flere punkter ( en konstant funksjon har alle minimum men ikke strengt minimum)”

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ strengt voksende: $x<y⟹f(x)<f(y)$
Bare voksende: $x\le y⟹f(x)\ge f(y)$

Hvis $f^{\prime }(x)\ge 0$ på $(a,b)$ så er $f$ voksende
om $>0$ så er $f$ strengt voksende

(tilsvarende for negative deriverte, avtagende funksjoner)

$a\le x_0<x_1\le b,c\in (x_0,x_1)$
$f^{\prime }(c)=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

“hvis jeg får streng ulikhet her, så får jeg streng ulikhet der, så det var også greit???

NB: $f(x)=x^3:$ strengt voksende men $f^{\prime }(0)=0$ pass på definisjonsområdet?

Konvekse funksjoner

$f((1-\lambda )a+\lambda b)\ge (1-\lambda )f(a)+\lambda f(b)$

“lineerkombinasjon, lambda er bare midtpunkt melllom de to.” “når lamda er lik 0 - a, når lambda er 1 - b” “på andre siden er vektene på utsiden”

Vi har at lambda er konveks dersom dette gjeller $\forall a<b$ i $I$ og alle $\lambda \in [0,1]$

“dette er da definisjonena v konvisktet.” se figur

Teorem:
Hvis $f$ er kontinuerlig på $I$ og deriverbar to ganger med $f^{\prime \prime }(x){\ge }_0$ for $x\in I$ (det åpne intervallet)
så er $f$ konveks
Bevis:
la $a$ og $b$ være gitt. Vi definerer $g:[0,1]\to \mathbb{R}$ ved at for $\lambda \in [0,1]$
$g(\lambda )=f((1-\lambda )a+\lambda b)-(1-\lambda )f(a)-\lambda f(b)$

Vi vil vise at $g(\lambda )\le 0$
sjekker noen verdier, ok
så deriverer vi
$g^{\prime }(\lambda )$ og husk. komposisjon av funksjonen lamda og f, kjerneregel, også er vi good

deriverer igjen. $g^{\prime \prime }(\lambda )$ er positi. $g^{\prime }$ er voksende.

“før kalte jeg den c. nå tar vi my”
dt fines en my slik at g’my =0 (rolles teorem)

gir $g{\le }_0$

“OI! takk for at dere var med meg ovre tiden”