Oblig 1 MAT1100

Obligatorisk del

Oppgave 1

Bestem eksplisitt løsningsmengden til følgende ligning med ukjent $x:$

$$x^3-21x+20=0.$$

Vi skriver $$
P(x)=x^3 − 21x + 20 = 0

Siden $P(1)=1^{3}-21*1+20=0$ Vet vi at polynomdivisnonen $P(x):(x-1)$ går opp $$\begin{array}{rrrrl} x^3 & -21x & & +20 & :\ (x-1) = x^2+x-20\\ -(x^3 & -x^2) & & & \\ \hline & x^2 & -21x & & \\ & -(x^2 & -x) & & \\ \hline & & -20x & +20 & \\ & & -(-20x & +20) & \\ \hline & & & 0 & \end{array}

$P(x)=(x-1)(x^2+x-20)=(x-1)(x-4)(x+5)$
som gir løsningene $L=-5,1,4$

Oppgave 2. Bestem de komplekse 6-te røttene til 1 både i rektangulær (kartesisk) og polar form. Plasser punktene på en figur.

$1=e^{i+0}$
$\sqrt[6]{e^{i0}}=e^{i0/6}(e^{i(\pi /3)}{)}^n,n\in \mathbb{Z}$
De 6 første:
$\{e^{i0},e^{i\pi /3},e^{i2\pi /3},e^{i\pi }.e^{i(4\pi /3)},e^{i5\pi /3}\}$
$\left\{1,\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}9,-1,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right\}$

Figur:

\centering \begin{tikzpicture}[scale=2] % Enhetssirkel \draw (0,0) circle (1); % Akser \draw[->] (-1.3,0) -- (1.3,0) node[right] {$\mathrm{Re}$}; \draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.3) node[above] {$\mathrm{Im}$}; % De 6 sjetterøttene \foreach \k in {0,...,5} { \pgfmathsetmacro\angle{60*\k} \fill[blue] (\angle:1) circle (0.5pt); \draw[dashed, gray] (0,0) -- (\angle:1); \node at (\angle:1.3) {$e^{i\pi\k/3}$}; } \end{tikzpicture} \caption{De 6 sjetterøttene av enheten på enhetssirkelen} \end{figure}

Ikke-obligatorisk del

Oppgave 3

Vi definerer to funksjoner $x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ og $y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ved at for $t\in \mathbb{R}$ har vi:
$x(t)=\frac{2t}{1+t^2}$ og $y(t)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$(i)$ sjekk at punktet$(x(t),y(t))$ alltid ligger på enhetssirkelen i planet.

$\sqrt{x(t{)}^2+y(t{)}^2}=1$ skal stemme dersom punktet ligger på enhetssirkelen
Setter inn og ganger ut:

$\sqrt{\frac{4t^2+t^4-2t^2+1}{t^4+2t^2+1}}=\sqrt{\frac{t^4+2t^2+1}{t^4+2t^2+1}}=1$

$(ii)$ Anta at $t=\tan (\theta )$ for en $\theta \in \mathbb{R}$. sjekk ved hjelp av trogonometriske indentitater at da har vi:
$x(t)=\sin (2\theta )$ og $y(t)=\cos (2\theta )$

$x(t)=\sin (2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$

$$\begin{array}{rl}x(t)& =\sin (2\theta )\\ & =2\sin \theta \cos \theta \\ & =\frac{(2\sin \theta \cos \theta ):{\cos }^2\theta }{({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta ):{\cos }^2\theta }\\ & =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}y(t)& =\cos (2\theta )\\ & ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ & =\frac{({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ):{\cos }^2\theta }{({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta ):{\cos }^2\theta }\\ & =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }\end{array}$$

(${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$)

$(iii)$ Hvordan beveger da punktet seg i planet?

Etter en lang prossess av å første tegne opp arctan(t)
og så tegne og sette inn verdier for $\sin (2\theta )$ og $\cos (2\theta )$

Også klø meg i hodet for HVORFOR I ALL VERDEN ER x lik sinus og y lik cosinus
…
Men vi konkluderte med at da beveger punktet seg motsatt vei rundt enhetssirkelen.
Som forsåvidt stemmer hvis vi ser på vanlig enhetssirkel, punktet $(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$ også vrir koordinatsystemet om $y=x$ så vil jo vi da bevege oss motsatt vei rundt sirkelen??

Oppgave 4

Bestem de komplekse 4-røttene til -4 i både rektangulær og polar form. Plasser punktene på en figur

$\sqrt[4]{-4}=\sqrt[4]{4e^{i(\pi )}}=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}\cdot (e^{i\pi /2}{)}^n,n\in \mathbb{Z}$

Kartesisk: $1+i,-1+i,-1-i,1-i$

Figur: \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
% Sirkel med radius sqrt(2)
\draw (0,0) circle (1.41421356);
% Akser
\draw[->] (-1.8,0) — (1.8,0) node[right] {$\mathrm{Re}$};
\draw[->] (0,-1.8) — (0,1.8) node[above] {$\mathrm{Im}$};
% n=0: vinkel pi/4
\fill[blue] (45:1.41421356) circle (0.6pt);
\draw[dashed, gray] (0,0) — (45:1.41421356);
\node at (45:1.75) {$1+i$};
% n=1: vinkel 3pi/4
\fill[blue] (135:1.41421356) circle (0.6pt);
\draw[dashed, gray] (0,0) — (135:1.41421356);
\node at (135:1.75) {$-1+i$};
% n=2: vinkel 5pi/4
\fill[blue] (225:1.41421356) circle (0.6pt);
\draw[dashed, gray] (0,0) — (225:1.41421356);
\node at (225:1.85) {$-1-i$};
% n=3: vinkel 7pi/4
\fill[blue] (315:1.41421356) circle (0.6pt);
\draw[dashed, gray] (0,0) — (315:1.41421356);
\node at (315:1.85) {$1-i$};
\end{tikzpicture}

Oppgave 5

Oppgave 5. Vi definerer en følge
$(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}:u_n=\frac{1000^n}{n!}$
Vi har lyst å få en bedre forståelse av denne følgen, først ved å se på små verdier av n og så se på vilkårlig store verdier av n.
(i) Regn ut $u_0,u_1,u_2,u_3$
$u_0=\frac{1000^0}{0!}=\frac{1}{1}=1$

$u_1=\frac{1000}{1}=1000$
$u_2=\frac{1000^2}{2}=500000$
$u_3=\frac{1000^3}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{10^9}{6}$

(ii) Sjekk at når $n\ge 1000$ har vi $u_{n+1}\le \left(\frac{1000}{1001}\right)u_n$

Generelt har vi at:
$u_{n+1}=\frac{1000^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{1000^n\cdot 1000}{n!\cdot (n+1)}=u_n\cdot \frac{1000}{n+1}$
Og for $n\ge 1000$ vil nevneren vokse for hver $n$ og alltid være større enn telleren i brøken, som gir at $u_{n+1}\le \left(\frac{1000}{1001}\right)u_n$

(iii) Vis ved induksjon at for $n\ge 1000$ har vi at: $u_{n+1}\le {\left(\frac{1000}{1001}\right)}^{n-999}{u}_{1000}$ (5)

Antar at $u_{n+1}\le {\left(\frac{1000}{1001}\right)}^{n-999}{u}_{1000}$ for $n\ge 1000$. (Vi vet også:$u_n=\frac{1000^n}{n!}$ og at når $n\ge 1000$ så er $u_{n+1}\le \left(\frac{1000}{1001}\right)u_n$)

Vi vil vise at $u_{n+1+1}\le {\left(\frac{1000}{1001}\right)}^{n+1-999}{u}_{1000}$ for $n\ge 1000$

GT: Sjekker for $n=1000$
$u_{1000+1}=\frac{1000^{1001}}{1001!}=\frac{1000^{1000}}{1000!}\cdot \frac{1000}{1001}=u_{1000}\frac{1000}{1001}$ (bruker eksplisitt formel fra tidligere:)
Dette stemmer med uttrykket vi nå skal vise: $\frac{1000^{1000}}{1000!}\cdot \frac{1000}{1001}\le {\frac{1000}{1001}}^{1000-999}{u}_{1000}=\frac{1000}{1001}{u}_{1000}$
(de er faktisk like)

IT:
VS:
$u_{(n+1)+1}\le \frac{1000}{1001}{u}_{n+1}$ (av (ii), dette er lov fordi $n{\ge }_{1000}$ gir at $n+1\ge 1000$)
$=\frac{1000}{1001}(\frac{1000}{1001}{)}^{n-999}{u}_{1000}$ (av induksjonshypotesen)
$={\left(\frac{1000}{1001}\right)}^{n+1-999}{u}_{1000}$

HS:
${\left(\frac{1000}{1001}\right)}^{n+1-999}{u}_{1000}$

Har dermed vist ved induksjon at $u_{n+1}\le {\left(\frac{1000}{1001}\right)}^{n-999}{u}_{1000}$ for $n\le 1000$

(iv) Begrunn så godt du kan at: ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$

Som vi har sett over: når $n\ge 1000$ synker følgen. kan den bli negativ?

Gitt ved konstant $u_{1000}$ og $\frac{1000^{n-999}}{\frac{n!}{1000!}}$ og ingen av disse vil bli negative når $n\to \infty$

${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{1000}{1001}\right)}^{n-999}{u}_{1000}$ vil gå mot null.

Men om det er tilstrekkelig? usikkert.