L'Hopitals regel

verken lhopital eller Rolle car så store matematikere, men de er store i kalkulus:)

Middelverdisetningen — generalisering av rolles teorem? (bare på skrå?)

Cauchys middelverdisetning —> generaliserin av middelverdisetningen. Den beviser L’Hopital

Bevis: Basert på Cauchys middelverdisetning
${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Variant:
$f(a)=0$, $g(a)=0$ og $g^{\prime }(a)\ne 0$
Da har vi ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$
Bevis:
$f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+\varphi (h)$ hvor ${\lim }_{h\to 0}\frac{\varphi (h)}{h}=0$
$g(a+h)=g(a)+g^{\prime }(a)h+\psi (h)$ hvor ${\lim }_{h\to 0}\frac{\varphi (h)}{h}=0$
ser på hvordan verdiene blir perturbert. uttrykker at dette er en god approksimasjon ved grensen phi(h)/h=0
$\frac{f(a+h)}{g(a+h)}=\frac{f^{\prime }(a)h+\varphi (h)}{g^{\prime }(a)h+\psi (h)}$
setter opp uttrykk, deler på h på begge sider.

siden ci har anttt $g^{\prime }(a)\ne 0$ kontinuitet av $\frac{1}{x}$

L’Hopital er et stekere teorem, men det jeg ville få frem er viktigheten av en slik ekspansjon. viktig prinsipp - noe enda mindre enn linjært, som går bort når vi tar grensen

“L’Hopital er bare en sånn morsomhet, som er regneteknisk artig.”

Snorre blander minus og pluss i derivasjon av xsinx
“noen ganger har studentene konkurranse om å antiderivere på tavla, og da takker jeg alltid nei”
“hvorav viktigheten av å kunne sine regneregler når man deriverer”