Grenser

Konsekvenser av summeregler???

$(\frac{1}{n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$
${\lim }_{n\to \infty }\frac{a}{n}$

Produktet av to grenseverdier er lik grensen av produktet.

Utvider til potenser.

${\lim }_{\to \infty }\frac{a^k}{a^k}=0$

${\sum }_{k=0}^l\frac{a^k}{m^k}$ der l er gitt, $a_0,\dots ,a_k$

$a_0=1$, resten av leddene bortover går mot null

Formelt:

$P(x)$ polynomet $P(a)=a_0+a_{1}x+\dots ,a_l{x}^2$
$u_n=P\left(\frac{1}{n}\right))$
Vi har vist at når $n\to \infty$ $P\left(\frac{1}{m}\right)-\to P(0)$

Funksjonsgrenser

la $f:I\to \mathbb{R}$ evære en funskjon definert på et intervall $I\subseteq \mathbb{R}$
Velg $a\in I$

Vi vil se på grensen, hvis den finnes, til $f(x)$ når $x\to a$
${\lim }_{x\to a}f$
(til en viss grad har vi vært innom det med følger, uendelig er forsåvidt ikke element i $I$, men det kan vi diskutere)

Når $I$ er på formen $(a,+\infty )$ lar vi $\bar{I}=[a,+\infty )$ kalt tillukningen av I
“om jeg har en grense på intervallet oppe eller nede så utvider jeg bittelitt slik at intervallet inneholder grensen”
Krever ikke at f er definert i $a$ (ville vært spesialtilfelle), men vi vil se på hva som skjer når $f$ nærmer seg $a$

Vi definerer
${\lim }_{x\to a}f(x)=L$

l/a	$L\in \mathbb{R}$
$a\in \mathbb{R}$

	$L\in \mathbb{R}$	$L=+\infty$	$L=-\infty$
$a\in \mathbb{R}$	${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ Presis definisjon som man må forholde seg til: $\text{For alle }ϵ>0$ finnes det $\delta >0$ slik at når $\Vert x-a\Vert <\delta$ og $x\ne a$ har vi at $\Vert f(x)-L\Vert <ϵ$ (for alle $x$ i $D_f$) EPSILON-DELTA-BEVIS (komplisert i praksis, enkelt å gjøre) Kontinutitet og sånt. Sjekke at polynomer er kontinuerlige i hver punkt.	VERTIKAL ASYMPTOTE ${\lim }_{x\to a}f(x)=+\infty$ (dette symbolet som egentlig ikke sier oss noe som helst. betyr at noe er vilkårlig stor. for hver potensielt grense, så blir funksjonsverdiene etter hver større) $\text{For hver }M\in \mathbb{R}\exists \delta >0$ slik at for $\Vert x-a\Vert <\delta$ og $x\ne a$ har vi $f(x)>M$ Tall som hvis man finner et tal som er nærmere a så gir det en høyere verdi.
$a=+\infty$	Finn A slik at når indeksen er større enn a så ligger alle funskjonsverdienen innen $\Vert f(n)-L\Vert <ϵ$ (som med følger) HORISONTAL ASYMPTOTE $\text{For hver }ϵ>0\exists A\in \mathbb{R}:\forall x>A,\Vert f(x)-L\Vert <ϵ$
$a=-\infty$
definisjonsmengder - f må være definert for store nok verdier av x for å i det hele tatt kunne ta grenseverdien? OBS definisjonsmendger.
”Det kan vi meditere litt på”

“jeg har fått noen sånne bekymringsmeldinger for sånn er jeg veldig abstrakt…”
“men eksamen kommer i samme stil som alltid. om min undervisningsform legger litt mer vekt på argumentasjon”
“har ikke vært gitt på eksamen på mange år, men praksis er å forklare dem slik at man blir vant til dem. Om man deler opp blir det overkommelig.”

Epsilon delta bevis?

${\lim }_{x\to a}f(x)=L$

Presis definisjon som man må forholde seg til:
$\text{For alle }ϵ>0$ finnes det $\delta >0$ slik at når $|x-a|<\delta$ og $x\ne a$ har vi at $|f(x)-L|<ϵ$
(for alle $x$ i $D_f$)
EPSILON-DELTA-BEVIS (komplisert i praksis, enkelt å gjøre)

Kontinutitet og sånt. Sjekke at polynomer er kontinuerlige i hvert $a\in \mathbb{R}$
Kan vi finne en funksjon som ikke er kontinuerlig i null? (Hva var definisjonen på kontinuitet igjen?)

Definer $f$ ved $f(x)=\frac{1}{|x|}$ når $x\ne 0$ og $f(0)=b$
Uansett hvordanv i velger $b$, blir $f$ diskontinuerlig i $0$

• $f(x)=|x|$ Da er $f$ kontinuerlig (dvs kontinuerlig ofr hvert element i $\mathbb{R}$)
  La $a\in \mathbb{R}$ La $ϵ>0$ (implisitt at dette gjelder en vilkårlig/alle epsilon, ikke et lat valg)
  Vi vil oppnå at $||x|-|a||<ϵ$ ved å kreve at $|x-a|$er lite nok. Vi vlger en $\delta =ϵ$

når $|x-a|>\delta$ har vi at $||x|-|a||\le |x-a|$ motsatt (INVERS) trekantuliukhet. og er alltid sant. $\le ϵ$

Først: $|x+y|\le |x|+|y|$ og $|x+y|-|x|\le y$ og masse mer greier som er litt forvvirdende og det ligger bak kontinuiteten over…
Så er vi ferdig tydeligvis???

eksempel

$sgn(x)$ fortegnsfunksjonen. KOntinuerlig i hver $a\ne 0$, diskontinuerlig i $0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}sgn(x)=-1$
${\lim }_{x\to 0^{+}}sgn(x)=1$

Gå tilbake til forrige definisjon - endre definisjonsmengde.
${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=L$ da betrakter vi $f$ definert(restriktert) på $D_f\cap (-\infty ,a)$
Tilsvarende for ${\lim }_{x\to a^{+}}$

• Vise at vi har en grense i a - sjekke fra en side, sjekke fra en annen side.
  ${\lim }_{x\to a}f(x)=l\iff {\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=l\wedge {\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=l$

(legger til $x<a$ i definisjonen av grensen)

Samme regler for sum av uttrykk og grenseverdier av uttrykk. Såpass likt for følger og funsjoner (det kan man fordøye på egenhånd)
Fint å skjønne sånne bevis, men på eksamen må man bare vise at man kan følge reglene i praksis.

Regneregler

Si ${\lim }_{x\to a}f(x)=r$ og ${\lim }_{x\to a}g(x)=s$

${\lim }_{x\to a}f(x)+(g(x))=r+s$

og mer på tavle!

Skjæringssetningen

La $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ være kontinuerlig
Anta at $f(a)<K<f(b)$ (forutsatt $f(a)<f(b)$Da finnes det en $c\in [a,b]$ ($a<c<b$) hvis ikke erd et ikke gøy
slik at $f(c)=K$
Det gjelder jo bare for kontinuerlige funksjoner!

Finnes det flere c?

Bevis

ikke tom - a, øvre begrensning b, for alle sosm er mindre eller lik K blir c lik K.
Motsigelsesbevis.

$S=\{x\in [a,b]:f(x)\le K\}$
$c=sup(S)$ -> siste skjæringspunkt (hvis flere) (implisitt at grafen går oppover siden $f(a)<f(b)$)

“så prøver vi å tegne opp motsigelsen, altså noe som ikke stemmer… jeg har laget en tegning av noe jeg vet er umulig. en øvelse i seg selv å forestille seg ting som er umulige”
(For alle funksjonsverdier som er større enn K, så må grafen være strengt større enn K. sånn c er definert)

legger f(c) over K - de to/2 = epsilon.

Når man gjør denne algebraen (en del egenskaper ved ulikheter og absoluttverdier også videre)

motsigelsen: for verdier fra c-delta er verdiene strengt større en K — stemmer jo ikke.

“heer er det mye triksing. mye å fordøye.”
Bruke skjøringgsetningen - skal vi gjøre på torsdag. Så er det å få en liten oversikt over hvordan det funker.

“I Frankrike lever man som en munk. 9/9/6. I Tyskland: høyere krav til argumentasjon og bevis, 50% stryk.”

Eksempel $ϵ\delta$

$\sqrt{3}$ finnes og ligger i $[1,2]$

$f:f(x)=x^2$
Denne er kontinuerlig, for identitetsfunksjonen er kontinuerlig, og den ganget med seg selv er kontinuerlig.
siden $1<3<4$ finnnes det $c\in (1,2)$ $f(c)=3,c^2=3$

Skjæringssetningen er det so faranterer eksistens av n-te røtter

Proposisjon: $f:[a,b]\to [c,d]$ være kontinuerlig og strengt voksende
$c=f(a)$ og $d=f(b)$
Da er $f$ bijektiv og inversfunksjonen $f^{-1}:[c,d]\to [a,b]$ er strengt voksende og kontinuerlig.
Bevis

Surjektivitet:
Skjæringssetningen gir at for hver $y\in [c,d]$ finnes det $x\in [a,b]$ slik at $(f(x)=y)$

For å vise bijektivitet: det må finnes en, BARE en.
La oss anta at $f(x)=y$ og $f(x^{\prime })=y$
Motsiglese: Hvis $x<x^{\prime }$ da må $f(x)<f(x^{\prime })$ som gir at de begge er lik y ikke er mulig.
Bruker at funksjonen er strengt voksende.

Hvorfor er inversfunkjsonen strengt voksende?
$[a,b]\to [c,d]$ blir $[c,d]\to [a,b]$ (flipper aksene.)

Anta $c\le y<y^{\prime }\le d$
Vi vil sjekke at $f^{-}1(y)<f^{-1}(y^{\prime })$

Kontinuitet

Når jeg har en voksende funkjson - blir grensen fra venstre supremum av funksonverdiene.
Tilsvarende for motsatt vei
$e\in [c,d]$
${\lim }_{y\to e^{-}}{f}^{-1}(y)=sup\{f^{-1}(y):y<e\}$
Samme for $e^{+}$
Vi tar dettte for gitt, hvordan bruker vi det?

dersom $sup\{f^{-1}(y):y<e\}<f^{-1}(e)$
Ikke kontinuerlig! (hopp i funksjon.)

Grenseverdier

${\lim }_{n\to \infty }\frac{(5n^5+20n+1)}{3n^5+4n^4}=\frac{5}{3}$
Bruker regnereglene våre - grenser av produkter og brøker (pass på nevner må ikke gå mot null)

Grenser av koeffisienter det har vi ikke vist.

Et annet bevis.

Ligner veldig på grensebegrepet.
Kontinuitet.

Ekvivalente setninger om kontinueitet. $a{\ne }_0{\lim }_{a\to a}\frac{1}{x}=\frac{1}{a}$
“jeg har kjøpt fine sånne fargekritt, for å forberede meg til denne forelesningen”

for hver $ϵ>0$ dinnes det $\delta >0$ slik at for alle $x,x{\ne }_0$
hvis

x må holde seg vekke fra null!
$\delta <\frac{a}{2}$
$\frac{1}{x}<\frac{2}{a}$

$|\frac{x-a}{}$

Når $\delta <$ både $\frac{a}{2}$ og $\frac{ϵa^2}{2}$
og $|x-a|<\delta$
får vi $|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}|<ϵ$

det var et epsilon delta bevis for at $\frac{1}{x}$ er kontinuerlig!

Gir meg først epsilon, prøver å finne denne delta, argumenterer rundt x så lenge man vet at $x<\delta$

“tok 200 år å komme frem til, nå blåser vi gjennom det på 2 uker”

“han gjør det så ulesbart som mulig”- Toni

Også begrunner vi rotfunksjonen

Operasjoner på grenser

Proposisjon: la $f:A\to R$ være kontinuerlig

Og resten er i notatet fra forelesningen.

“eg sparer denne til senere, dette her er gull verdt”
“5 kr, direkteimportert fra japan”
“hver matematikers våte drøm”
folk ler
“you came at the right moment” - Theodora

“alt jeg sier nå, er bare omformuleringer av ting vi vet”

def:
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(fg)(x)=f(x))(g(x)$
Regneregler for sammensetninger av funksjoner kan vi utlede ved å utrrykke det lredd for ledd, og si at assosiativitet, distributivitet av addisjon over multiplikasjon, og andre egenskaper gjelder for de reelle tallene.

Gir et språk for å snakke om funksjoner og grenser på en bedre måte.

Eksempler på bruk av alt dette her