Ekstremalverdisetningen

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ er kontinuerlig (Essensielt at vi har et lukket intervall og funkjsoenne er kontinuerlig)
Da finnes der $M\in {\mathbb{R}}_{+}$ slik at $\forall x\in [a,b]$ $|f(x)|\le M$

• $f$ er begrenset på $[a,b]$ ($V_f$ er begrenset i $\mathbb{R}$)

2.$f$ når et miminum og et maksimum på $[a,b]$
det finnes $x_0\in [a,b]$ slik at $f(x_0)\le f(x)\forall x\in [a,b]$
det finnes $x_1\in [a,b]$ slik at $f(x_1)\ge f(x)\forall x\in [a,b]$
gir infimum og supremum for $V_f$
“løsning på et problem som er i litt annen natur enn å løse en likning”

Hva sier dette egentlig?

Bevis:

velge hvilken epsilon vi vil, grovt - 1.

Hvorfor har man lov til å splitte absoluttverdien? motsatt trekantulikhet
$|f(x)-f(c)|<1$ gir at $|f(x)|<|f(c)|+1$

tegning.
Hvor kommer M fra? $x<b$ ?

“nå er jeg litt smart” Vi definerer $g(x)=\frac{1}{f(x)-\alpha }$ jeg vet at det finns verdier når dette blir vikårlig nær alfa, g blir vilkårlig stor. denne funksjonen er kontinuerlig, som ammensetning av f, trekker fra noe, sum av funkjsoner, invers, komposisjon —> dette er lov…
$g$ er kontinuerlig på intervallet $[a,b]$ Ved 1 finnes det en $M$ slik at $\forall x\in [a,b]$

“alright så vi har en fullstendig ikke konstruktiv metode for å løse et problem”
det finnes visstnok metoder i noen tilfeller som gir en god approksimasjon, men det er et eget fagfelt.