Eksempel konvergens med definison

Vis at følgen
Vis at $a_n=\frac{2n+1}{n+3}$
​ konvergerer mot 2, ved å bruke definisjonen av konvergens.

VI skriver opp
For hver $ϵ>0$ finnes en $A\in \mathbb{N}$ slik at $n>A$ gir at $|a_n-L|<ϵ$

Siden vi skal vise at $a_n$ konvergerer mot 2 -> $L=2$

$|a_n-2|<ϵ$
$|\frac{(2n+1)}{n+3}-\frac{2(n+3)}{n+3}|<ϵ$
$|-\frac{5}{n+3}|<ϵ$
$\frac{5}{n+3}<ϵ$

Velger $A\ge =\frac{5}{ϵ}-3$ (Arkimedes)

HUSK $n>A$

$|a_n-L|=\frac{5}{n+3}<\frac{5}{A+3}\le \frac{5}{\left(\frac{5}{ϵ}-3\right)+3}=ϵ$

da stemmer det at når $n>A$ så er $|a_n-L|<ϵ$

Eksempel epsilon delta